AlgLin: det(A^2+B^2) \ge det(AB-BA)
Dimostrare che, comunque scelte $A, B \in M_2(\mathbb{R})$ (i.e., due matrici reali di dimensione 2 x 2), risulta $|A^2+B^2| \ge |AB - BA|$, e stabilire quindi in quali casi sussiste l'uguaglianza.
Risposte
"Thomas":
ehm....scusa DavidHilbert avevo capito che tu avevi una soluzione...
...ma infatti io non ho mai detto il contrario! Ah, la logica...
thx blackdie... finalmente! 
...
cmq non è che fosse molto bello dal punto di vista teorico...
edit: corretto un errore imperdonabile
... cmq non è che fosse molto bello dal punto di vista teorico...
edit: corretto un errore imperdonabile
"DavidHilbert":
[quote="Thomas"]ehm....scusa DavidHilbert avevo capito che tu avevi una soluzione...
...ma infatti io non ho mai detto il contrario! Ah, la logica...
[/quote]
.... sembrava trasparire dal tono del tuo msg... talvolta su internet questo porta a malintesi...
ciao!
qualcuno saprebbe spiegarmi un paio di cose di quella prova...
tipo, come si vede quest'uguaglianza
$\det(A^2+B^2-i(AB-BA))+ \det(A^2 + B^2 + i(AB-BA)) = 2\det(A^2+B^2)+2\det(i(AB-BA))$
?
e poi, nn ho afferrato alla fine quando dice:
$f(x)=det(A+xB)$ con $f(i)=f(-i)=0$ , come giunge al fatto che A e B sono uguali a 2?
Grazie
qualcuno saprebbe spiegarmi un paio di cose di quella prova...
tipo, come si vede quest'uguaglianza
$\det(A^2+B^2-i(AB-BA))+ \det(A^2 + B^2 + i(AB-BA)) = 2\det(A^2+B^2)+2\det(i(AB-BA))$
?
e poi, nn ho afferrato alla fine quando dice:
$f(x)=det(A+xB)$ con $f(i)=f(-i)=0$ , come giunge al fatto che A e B sono uguali a 2?
Grazie
"leev":
qualcuno saprebbe spiegarmi un paio di cose di quella prova...
tipo, come si vede quest'uguaglianza
$\det(A^2+B^2-i(AB-BA))+ \det(A^2 + B^2 + i(AB-BA)) = 2\det(A^2+B^2)+2\det(i(AB-BA))$
?
e poi, nn ho afferrato alla fine quando dice:
$f(x)=det(A+xB)$ con $f(i)=f(-i)=0$ , come giunge al fatto che A e B sono uguali a 2?
Grazie
"blackdie":
Qui!
E chi non vuole non legga...
Non fraintendere quel che dico, leev, ma tutto questo è la riprova che non basta leggere per...
Sempre pungente, David Hilbert ( =HiTToLo ?)!!
Camillo
Camillo
"camillo":
Sempre pungente, David Hilbert ( =HiTToLo ?)!!
Fino alla morte...
"camillo":
Sempre pungente, David Hilbert ( =HiTToLo ?)!!
Camillo
Lo stile è difficile da cambiare!
"leonardo":
Lo stile è difficile da cambiare!
...diversamente dal nick! Che poi è lo stile a renderci autentici e vari, splendidamente diversi e concordemente opposti. Già, lo stile. Perché qualcuno ha detto - ed io qui lo ripeto! - che noi siamo ciò che scriviamo, e nel modo in cui lo scriviamo. Se sia vero o no, non so dirlo: so tuttavia che mi piace, tanto mi basta.
Si ma il fatto è che se devo farmi 100 passaggi mentali per spiegare un uguaglianza, non mi sembra sta gran prova...a quel punto enuncio ipotesi e affermazione e dico ke l'affermazione è la dimostrazione stessa...
O forse in questo caso mi sfuggono altre basi che permettono di concludere quelle cose cosi semplicemente...in tal caso se qualcuno me le citasse lo apprezzerei molto.
ciao!
O forse in questo caso mi sfuggono altre basi che permettono di concludere quelle cose cosi semplicemente...in tal caso se qualcuno me le citasse lo apprezzerei molto.
ciao!
vabbé...ke mistero sia allora...
Mosso a pietà, vi rispondo! Siano $n > 0$ un intero ed $A, B \in \mathbb{C}^{n,n}$. Per ogni $\lambda \in \mathbb{C}$, poniamo $P(\lambda) := det(A + \lambda B)$. E' ovvio allora che $P(\cdot)$ è un polinomio di grado $\le n$ nella variabile $\lambda$ a coefficienti complessi, perciocché esistono $\alpha_0, \alpha_1, ..., \alpha_n \in \mathbb{C}$ tali che $P(\lambda) = \sum_{k=0}^n \alpha_k \lambda^{n-k}$, identicamente in $\mathbb{C}$. In particolare, si trova (non serve neanche un conto!) che $\alpha_0 = det(B)$ ed $\alpha_n = det(A)$. A vous...
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