[Algebra omologica] Due isomorfismi
Non è un esercizio per il quale mi serve un aiuto.
Sia $M$ uno $ZZ$-modulo e $T(M)={x \in M| \exists n >0 t.c. n\cdot x=0}$ il suo sottogruppo di torsione. Dimostrare che
1) $\text{Tor}_{1}^{ZZ}(M,N) \cong \text{Tor}_{1}^{ZZ}(T(M),T(N))$
2) $T(M) \cong \text{Tor}_{1}^{ZZ}(M,QQ//ZZ)$
Tra qualche giorno metto in spoiler la soluzione
Sia $M$ uno $ZZ$-modulo e $T(M)={x \in M| \exists n >0 t.c. n\cdot x=0}$ il suo sottogruppo di torsione. Dimostrare che
1) $\text{Tor}_{1}^{ZZ}(M,N) \cong \text{Tor}_{1}^{ZZ}(T(M),T(N))$
2) $T(M) \cong \text{Tor}_{1}^{ZZ}(M,QQ//ZZ)$
Tra qualche giorno metto in spoiler la soluzione
Risposte
A me sembra che \(\displaystyle T(M)\) sia un sottomodulo di \(\displaystyle M\)... ma potrei sbagliarmi!
$M$ è $ZZ$-modulo $\Rightarrow$ $M$ è abeliano $\Rightarrow$ $T(M)$ è abeliano $\Rightarrow$ $T(M)$ è $ZZ$-modulo
Ricordo che $T(M)=0 \Leftrightarrow M$ piatto in $ZZ$, inoltre $\text{Tor}_{n}^{ZZ}(M,N)=0$ per ogni $N$ e $n>0$ se $M$ piatto
Ricordo che $T(M)=0 \Leftrightarrow M$ piatto in $ZZ$, inoltre $\text{Tor}_{n}^{ZZ}(M,N)=0$ per ogni $N$ e $n>0$ se $M$ piatto
Ah già: \(\displaystyle\mathbb{Z}\)-modulo e gruppo abeliano sono sinonimi; me lo dimentico sempre...
"dan95":
$T(M)=0 \Leftrightarrow M$ piatto
Falso se l'anello non è locale
M lo intendo come $ZZ$-modulo
Soluzione 1
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo