Teoria 1bis: non esistenza di equilibri di Nash
Abbiamo visto che cosa è un gioco in forma strategica, a due giocatori.
E abbiamo visto un esempio (da wedge) di un gioco privo di equilibri di Nash.
Uno potrebbe dire: ovvio! wedge ha preso spazi non compatti!
In realtà, la compattezza di $X$ ed $Y$ non è sufficiente.
Attendo esempi in poposito...
E abbiamo visto un esempio (da wedge) di un gioco privo di equilibri di Nash.
Uno potrebbe dire: ovvio! wedge ha preso spazi non compatti!
In realtà, la compattezza di $X$ ed $Y$ non è sufficiente.
Attendo esempi in poposito...
Risposte
ihih... ma è banale che $X$ e $Y$ siano continue?... io non ho messo la mia dim (quasi identica alla tua) perchè non ero del tutto convinto di questo fatto!
Interessante, davvero interessante.
Tre osservazioni:
1.
C'è una affermazione che richiede uno straccio di dim.
Non considererei così ovvia la continuità delle funzioni $a \mapsto X(a)$ e $a \mapsto Y(a)$.
Noto che nello slang della teoria dei giochi verrebbero chiamate funzioni di miglior risposta (best reply function).
2.
La ipotesi di unicità è forte. Anche se potrebbe essere fuorviante, comunque "punta" ad uno dei punti chiave per la dim del teorema di Nash
3.
A questo punto, allora, si potrebbe restringere la ricerca al caso in cui la unicità invocata non si ha. Questo dovrebbe semplificare la vita, perché una chiave così potente forse permette di cominciare a provare con esempi semplici.
Tre osservazioni:
1.
C'è una affermazione che richiede uno straccio di dim.
Non considererei così ovvia la continuità delle funzioni $a \mapsto X(a)$ e $a \mapsto Y(a)$.
Noto che nello slang della teoria dei giochi verrebbero chiamate funzioni di miglior risposta (best reply function).
2.
La ipotesi di unicità è forte. Anche se potrebbe essere fuorviante, comunque "punta" ad uno dei punti chiave per la dim del teorema di Nash
3.
A questo punto, allora, si potrebbe restringere la ricerca al caso in cui la unicità invocata non si ha. Questo dovrebbe semplificare la vita, perché una chiave così potente forse permette di cominciare a provare con esempi semplici.
"ubermensch":
ihih... ma è banale che $X$ e $Y$ siano continue?... io non ho messo la mia dim (quasi identica alla tua) perchè non ero del tutto convinto di questo fatto!
vedo che non sono il solo
esempi semplici non mi vengono...
do un'idea di quello che ho pensato... credo che sia corretto e che dimostri almeno che una siffatta coppia di funzioni esiste e che quindi il caro Fioravante non ci sta facendo qualche trabocchetto
.
Prendiamo $f(x,1)$ con due massimi, che so, uno in $1/3$ e l'altro in $2/3$. Consideriamo ora per $y\in(3/4,1)$ delle vibrazioni di $f(x,1)$, una sorta di omotopia, in maniera tale che $f(x,y)$, per ogni $y$ fissato ha solo il massimo in $2/3$. Ora, per $y\in(1/2,3/4]$ faccio le stesse vibrazioni però al contrario e torniamo allora a $f(x,1/2)=f(x,1)$. A questo punto, per $y\in[0,1/2)$ facciamo lo stesso procedimento di prima però "simmetrizzato".. cioè ci lasciamo i massimi tutti sul punto $1/3$. Insomma... credo che ormai sia chiaro che serve che l'insieme dei massimi non deve contenere curve continue che "vanno da una parte all'altra" dell'intervallo $[0,1]$ e l'obiettivo della costruzione è appunto questo.
Facendo ora analogamente si riesce a trovare facilmente $g$ in maniera che l'insieme dei massimi delle sue sezioni verticali non intersechi l'insieme dei massimi delle sezioni orizzontali di $f$.
Bah... magari qualcuno storcerà un pò la bocca con la mia dimostrazione euristica... però mi pare che sia corretta.
do un'idea di quello che ho pensato... credo che sia corretto e che dimostri almeno che una siffatta coppia di funzioni esiste e che quindi il caro Fioravante non ci sta facendo qualche trabocchetto
.Prendiamo $f(x,1)$ con due massimi, che so, uno in $1/3$ e l'altro in $2/3$. Consideriamo ora per $y\in(3/4,1)$ delle vibrazioni di $f(x,1)$, una sorta di omotopia, in maniera tale che $f(x,y)$, per ogni $y$ fissato ha solo il massimo in $2/3$. Ora, per $y\in(1/2,3/4]$ faccio le stesse vibrazioni però al contrario e torniamo allora a $f(x,1/2)=f(x,1)$. A questo punto, per $y\in[0,1/2)$ facciamo lo stesso procedimento di prima però "simmetrizzato".. cioè ci lasciamo i massimi tutti sul punto $1/3$. Insomma... credo che ormai sia chiaro che serve che l'insieme dei massimi non deve contenere curve continue che "vanno da una parte all'altra" dell'intervallo $[0,1]$ e l'obiettivo della costruzione è appunto questo.
Facendo ora analogamente si riesce a trovare facilmente $g$ in maniera che l'insieme dei massimi delle sue sezioni verticali non intersechi l'insieme dei massimi delle sezioni orizzontali di $f$.
Bah... magari qualcuno storcerà un pò la bocca con la mia dimostrazione euristica... però mi pare che sia corretta.
"ubermensch":
che quindi il caro Fioravante non ci sta facendo qualche trabocchetto
Impossibile! Fioravante =
Colpito e affondato!
Mi sembra un esempio carinamente semplice, che va all'essenziale. Poi, magari, si può ancora semplificare, ma c'è l'idea buona.
A parte l'ossimoro, non vedo problemi (eccetto la noia) a definire analiticamente una $f$ come vuoi tu
NB: un ingrediente assolutamente fondamentale per un controesempio è che l'insieme dei punti di max di $x \mapsto f(x,y)$ non è convesso, per almeno un valore della $y$
"ubermensch":
esempi semplici non mi vengono...
Mi sembra un esempio carinamente semplice, che va all'essenziale. Poi, magari, si può ancora semplificare, ma c'è l'idea buona.
"ubermensch":
Bah... magari qualcuno storcerà un pò la bocca con la mia dimostrazione euristica... però mi pare che sia corretta.
A parte l'ossimoro, non vedo problemi (eccetto la noia) a definire analiticamente una $f$ come vuoi tu
NB: un ingrediente assolutamente fondamentale per un controesempio è che l'insieme dei punti di max di $x \mapsto f(x,y)$ non è convesso, per almeno un valore della $y$
"ubermensch":
ihih... ma è banale che $X$ e $Y$ siano continue?...
Una dimostrazione per assurdo dovrebbe "timbrare il cartellino".
Supponiamo per assurdo che $X$ non sia continua in $a$. Esiste allora una successione $b_n$ convergente ad $a$ tale che $|X(a)-X(b_n)|>\epsilon$ per un certo $\epsilon \in RR^+$ e tale che $X(b_n)$ converge ad un valore $K!=X(a)$. D'altra parte, $f(X(b_n),b_n)>=f(X(a),b_n)$ per definizione. Inoltre $f(X(a),b_n)$ converge a $f(X(a),a)$. Ma per continuita' di $f$, abbiamo che $f(X(b_n),b_n)$ converge a $f(K,a)$. Segue allora che $f(K,a)>=f(X(a),a)$, assurdo.
Se ho detto sciocchezze, fustigatemi
Una frustatina, ma leggera: per l'assurdo serve $f(K,a)>f(X(a),a)$
Hai presente, no? Negare il $\le$ vuol dire $>$, non $\ge$.
Mi sa che ti serve un corso di logica di base
Tornando seri, fields dimostra essenzialmente il "teorema del massimo" (o di Berge). Che è ingrediente importante. Tanto è vero che ci ritorneremo su con il prossimo thread, dedicato al teorema di Nash
Hai presente, no? Negare il $\le$ vuol dire $>$, non $\ge$.
Mi sa che ti serve un corso di logica di base
Tornando seri, fields dimostra essenzialmente il "teorema del massimo" (o di Berge). Che è ingrediente importante. Tanto è vero che ci ritorneremo su con il prossimo thread, dedicato al teorema di Nash
"Fioravante Patrone":
Una frustatina, ma leggera: per l'assurdo serve $f(K,a)>f(X(a),a)$
But Fioravante, non mi e' chiara la tua osservazione... Anche $f(K,a)=f(X(a),a)$ e' assurdo, essendo $K!=X(a)$, per unicita' del max.
bene... comincio ad essere seriamente curioso di conoscere il teorema di Nash...
peccato che devo cominciare a preparare Topologia Algebrica e non so quanto potrò seguirvi.
peccato che devo cominciare a preparare Topologia Algebrica e non so quanto potrò seguirvi.
"fields":
[quote="Fioravante Patrone"]Una frustatina, ma leggera: per l'assurdo serve $f(K,a)>f(X(a),a)$
But Fioravante, non mi e' chiara la tua osservazione... Anche $f(K,a)=f(X(a),a)$ e' assurdo, essendo $K!=X(a)$, per unicita' del max.[/quote]
accidenti, niente frustate
peccato, sarà per un'altra volta!
"ubermensch":
bene... comincio ad essere seriamente curioso di conoscere il teorema di Nash...
peccato che devo cominciare a preparare Topologia Algebrica e non so quanto potrò seguirvi.
precedici, allora!
magari ci dai una dim del teorema di Brouwer mediante Top Alg
Ehm... dovrei andarla a ripescare negli appunti di Topologia (l'abbiamo fatta là! in questo corso si fa solo omologia singolare e coomologia di De Rham)... su due piedi ne posso dare una molto carina di teoria dei grafi...
la devo scrivere per davvero, o stai scherzando?
la devo scrivere per davvero, o stai scherzando?
"ubermensch":
la devo scrivere per davvero, o stai scherzando?
beh, la partecipazione al forum è volontaria!
se è importante per proseguire la metto (anche quella di topologia algebrica.. me la riguardo al volo!) ... vabbè... la metto.. un ripassino non fa mai male!
Fra l'altro, noto per inciso, che non sono convintissimo dell'utilizzo che fa Field del teorema di Brower: prima di tutto esso si riferisce a funzioni definite sul disco chiuso (almeno nella versione che conosco io!), secondo poi non è detto che una funzione da $[0,1]$ a $[0,1]$ continua abbia un punto fisso... a meno che non sia surjettiva...
Io in effetti avevo concluso diversamente la dimostrazione, pensando di diesgnare le curve dei massimi sul quadrato $[0,1]^2$ e osservando che queste devono sicuramente intersecarsi..
vabbè..
th(punto fisso di Brower)
Sia $D^2\subsetRR^2$ il disco chiuso e $f : D^2->D^2$ continua. Allora $f$ ammette un punto fisso.
dimostrazione
Per assurdo $f(x)\nex,\forall x$. Definiamo $r : D^2->S^1$ come $r(x)=x+t(x-f(x)$ dove $t>0$ è tale da rendere $r(x)$ di norma $1$. Ci vorrebbe una figura per capire la situazione che è piuttosto intuitiva: se $x\nef(x)$, allora questi due punti individuano una retta, che orientiamo verso $x$ (grazie alla scelta $t>0$). Dunque $r(x)$ è l'intersezione della semiretta che parte da $f(x)$ verso $x$ col bordo del disco). Ora $r$ è continua e $r(x)=x,\forall x\in S^1$. Dunque $r$ è una retrazione del disco sul bordo.. questo è un assurdo perchè il gruppo fondamentale del disco è diverso da quello del bordo, cioè $S^1$.
Fra l'altro, noto per inciso, che non sono convintissimo dell'utilizzo che fa Field del teorema di Brower: prima di tutto esso si riferisce a funzioni definite sul disco chiuso (almeno nella versione che conosco io!), secondo poi non è detto che una funzione da $[0,1]$ a $[0,1]$ continua abbia un punto fisso... a meno che non sia surjettiva...
Io in effetti avevo concluso diversamente la dimostrazione, pensando di diesgnare le curve dei massimi sul quadrato $[0,1]^2$ e osservando che queste devono sicuramente intersecarsi..
vabbè..
th(punto fisso di Brower)
Sia $D^2\subsetRR^2$ il disco chiuso e $f : D^2->D^2$ continua. Allora $f$ ammette un punto fisso.
dimostrazione
Per assurdo $f(x)\nex,\forall x$. Definiamo $r : D^2->S^1$ come $r(x)=x+t(x-f(x)$ dove $t>0$ è tale da rendere $r(x)$ di norma $1$. Ci vorrebbe una figura per capire la situazione che è piuttosto intuitiva: se $x\nef(x)$, allora questi due punti individuano una retta, che orientiamo verso $x$ (grazie alla scelta $t>0$). Dunque $r(x)$ è l'intersezione della semiretta che parte da $f(x)$ verso $x$ col bordo del disco). Ora $r$ è continua e $r(x)=x,\forall x\in S^1$. Dunque $r$ è una retrazione del disco sul bordo.. questo è un assurdo perchè il gruppo fondamentale del disco è diverso da quello del bordo, cioè $S^1$.
"ubermensch":
Fra l'altro, noto per inciso, che non sono convintissimo dell'utilizzo che fa Field del teorema di Brower: prima di tutto esso si riferisce a funzioni definite sul disco chiuso (almeno nella versione che conosco io!), secondo poi non è detto che una funzione da $[0,1]$ a $[0,1]$ continua abbia un punto fisso... a meno che non sia surjettiva...
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_de ... di_Brouwer
"ubermensch":
Fra l'altro, noto per inciso, che non sono convintissimo dell'utilizzo che fa Field del teorema di Brower: prima di tutto esso si riferisce a funzioni definite sul disco chiuso (almeno nella versione che conosco io!), secondo poi non è detto che una funzione da $[0,1]$ a $[0,1]$ continua abbia un punto fisso... a meno che non sia surjettiva...
Io in effetti avevo concluso diversamente la dimostrazione, pensando di diesgnare le curve dei massimi sul quadrato $[0,1]^2$ e osservando che queste devono sicuramente intersecarsi..
Brouwer, non Brower (vedi: https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 7469#87469)
Vediamo le tue "obiezioni" a fields (provo a risparmiargli un po' di lavoro, glielo devo, dopo il maldestro tentativo di somministrargli una frustatina)
1.
Disco chiuso? Quello che è sufficiente è un compatto convesso (non vuoto
) di $RR^n$. Un tale oggetto è omeomorfo ad un disco chiuso (in uno spazio della dimensione opportuna...). Quindi, essendo roba di Top, non fa differenza.2.
Suriettiva? No, ti ricordi male. La condizione di suriettività non serve per il teorema di Brouwer e suoi parenti stretti. Oltretutto, in $[0,1]$, Brouwer lo si deduce subito dal teorema degli zeri e vedi chiaramente che non serve suriettività.
3.
Non mi è chiaro cosa intendi, palando di intersezione. Comunque, ci sono teoremi di "non intersezione" che sono equivalenti al teorema di Brouwer.
vabbé, non sono riuscito a risparmiare a fields la fatica...
ma visto che cita wikipedia, ne approfitto per rendere noto "urbi et orbi" che 213.140.22.67 (vedi cronologia) ero io
e quale contributo fondamentale ho dato?
ho aggiunto "non vuoto"
ma visto che cita wikipedia, ne approfitto per rendere noto "urbi et orbi" che 213.140.22.67 (vedi cronologia) ero io
e quale contributo fondamentale ho dato?
ho aggiunto "non vuoto"
"Fioravante Patrone":
vabbé, non sono riuscito a risparmiare a fields la fatica...
E' già, la fatica del "copia-incolla"...
ok... effettivamente ho detto una cavolata! Pardon... mi sono sbagliato 
fra l'altro credo che la dimostrazione che ho messo vada bene anche per $D^n$, o sbaglio ancora? (P.s. forse per concludere l'assurdo servono i gruppi di omologia e non basta il gruppo fondamentale!)
Per quanto riguarda la terza obiezione rispondo subito: usando la simbologia di Fields, il grafico di $X$ è una curva che, nel quadrato $[0,1]^2$, parte da un lato (lato 1) e arriva a quello opposto (lato 3); il grafico di $Y$ invece parte dal lato 2 e arriva a quello opposto (lato 4). Poichè queste funzioni sono continue allora si devono intersecare e il punto in cui si intersecano è l'equilibrio di Nash.
fra l'altro credo che la dimostrazione che ho messo vada bene anche per $D^n$, o sbaglio ancora? (P.s. forse per concludere l'assurdo servono i gruppi di omologia e non basta il gruppo fondamentale!)
Per quanto riguarda la terza obiezione rispondo subito: usando la simbologia di Fields, il grafico di $X$ è una curva che, nel quadrato $[0,1]^2$, parte da un lato (lato 1) e arriva a quello opposto (lato 3); il grafico di $Y$ invece parte dal lato 2 e arriva a quello opposto (lato 4). Poichè queste funzioni sono continue allora si devono intersecare e il punto in cui si intersecano è l'equilibrio di Nash.
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