Teoria 1bis: non esistenza di equilibri di Nash
Abbiamo visto che cosa è un gioco in forma strategica, a due giocatori.
E abbiamo visto un esempio (da wedge) di un gioco privo di equilibri di Nash.
Uno potrebbe dire: ovvio! wedge ha preso spazi non compatti!
In realtà, la compattezza di $X$ ed $Y$ non è sufficiente.
Attendo esempi in poposito...
E abbiamo visto un esempio (da wedge) di un gioco privo di equilibri di Nash.
Uno potrebbe dire: ovvio! wedge ha preso spazi non compatti!
In realtà, la compattezza di $X$ ed $Y$ non è sufficiente.
Attendo esempi in poposito...
Risposte
"Fioravante Patrone":
Sia $G=(X,Y,f,g)$ un gioco a due giocatori in forma strategica. Supponiamo che:
- sia $X$ che $Y$ siano sottoinsiemi compatti, convessi e non vuoti di un opportuno spazio euclideo finito-dimensionale
- $f,g$ siano continue
- per ogni $y \in Y$, $x \mapsto f(x,y)$ sia quasi-concava e per ogni $x \in X$, $y \mapsto g(x,y)$ sia quasi-concava
Allora $G$ ha (almeno) un equilibrio di Nash.
Vediamo un po'... Avrei questa "congettura":
Sia $G=(X,Y,f,g)$ un gioco a due giocatori in forma strategica. Supponiamo che:
- sia $X$ che $Y$ siano sottoinsiemi compatti, convessi e non vuoti di $RR$
- $f,g$ siano continue
- per ogni $y \in Y$, l'insieme dei punti di max di $x \mapsto f(x,y)$ sia convesso e per ogni $x \in X$, l'insieme dei punti di max $y \mapsto g(x,y)$ sia convesso.
Allora $G$ ha (almeno) un equilibrio di Nash.
L'ipotesi con cui ho sostituito l'ipotesi di quasi concavità è più debole, eppure l'enunciato sembra essere vero. Può essere?
@fields
certo che può essere, anzi, "è"
dato il tema, preferisco però ricopiare il tuo post nel thread "teoria 2: teorema di Nash", nel quale la mia risposta si inserisce meglio:
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=20482
certo che può essere, anzi, "è"
dato il tema, preferisco però ricopiare il tuo post nel thread "teoria 2: teorema di Nash", nel quale la mia risposta si inserisce meglio:
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=20482
Soluzione elaborata con dzcosimo e un amico.
$f(x,y)=xy$
$g(x,y)=-xy$
$(x,y)in{[-2,2]x[-2,2]}-C$
ove C e' l'insieme ${(x,y)in RR^2 , x^2 +y^2 <1}$
Che ne pensate?
$f(x,y)=xy$
$g(x,y)=-xy$
$(x,y)in{[-2,2]x[-2,2]}-C$
ove C e' l'insieme ${(x,y)in RR^2 , x^2 +y^2 <1}$
Che ne pensate?
Allora, la "best reply" per il giocatore I è (spero che sia chiaro, evito di fare troppo il precisino):
-2 se y<0
[-2,-1] unito [1,2] se y=0
2 se y>0
Similmente per II.
Avendo "creato un buco", fate sì che i grafici delle due "best reply" non abbiano punti in comune.
Che è equivalente alla non esistenza di punto fisso per la "best reply complessiva".
Che è equivalente alla non esistenza di un equilibrio di Nash.
Per le equivalenze, rinvio a:
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... kutani.pdf
in particolare a pag. 4
(la "best reply complessiva" è quella che in quelle note chiamo R).
-2 se y<0
[-2,-1] unito [1,2] se y=0
2 se y>0
Similmente per II.
Avendo "creato un buco", fate sì che i grafici delle due "best reply" non abbiano punti in comune.
Che è equivalente alla non esistenza di punto fisso per la "best reply complessiva".
Che è equivalente alla non esistenza di un equilibrio di Nash.
Per le equivalenze, rinvio a:
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... kutani.pdf
in particolare a pag. 4
(la "best reply complessiva" è quella che in quelle note chiamo R).
Via menomale. Abbiamo speso un'oretta più o meno e le funzioni $f$ e $g$ ci sono venute in mente contemporaneamente. Nel senso che mentre io le scrivevo da una parte della lavagna cosimo le scriveva dall'altra e ci siam guardati e messi a ridere!
Il problema è stato scegliere il dominio compatto giusto. Inizialmente si pensava ad una corona circolare, ma poi a dz è venuto in mente che ci sono ben 4 equilibri di Nash in essa, al che l'abbiamo estesa al quadrato. Abbiamo escluso l'origine perché il punto $(0,0)$ è d'equilibrio...
Il problema è stato scegliere il dominio compatto giusto. Inizialmente si pensava ad una corona circolare, ma poi a dz è venuto in mente che ci sono ben 4 equilibri di Nash in essa, al che l'abbiamo estesa al quadrato. Abbiamo escluso l'origine perché il punto $(0,0)$ è d'equilibrio...
"Fioravante Patrone":
come si diceva una volta? fuochino? fuoco! bruci!!
però l'appetito vien mangiando!
dopo che avrai spiattellato l'esempio che già hai in mente, ne voglio anche uno in cui $X=Y=[0,1]$ (ed $f,g$ continue, s'intende!)
Accetto la sfida! (anche se dopo un bel po' di tempo!)
$X=Y=[0,1]$
$f(x,y) = x*y$
$g(x,y) = y-x$
Vado a giustificarlo:
Dalla prima delle due condizioni di equilibrio di Nash, abbiamo che:
$bar{x}*bar{y}>=bar{x}*y$
Imponendo la condizione $bar{x} != 0$ arriviamo a $bar{y}>=y$ che è ovviamente risolta soltanto per $bar{y}=1$
Utilizziamo la seconda delle due condizioni:
$bar{y} - bar{x} >= bar{y} - x$
Quindi: $bar{x} <= x$ e questo porta all'assurdo $bar{x}=0$
Che ne dici?
Uhm, spazi di strategie compatti e convessi (e non vuoti...).
Payoff continui e inoltre lineari (ergo quasi concave) nella variabile decisionale corrispondente (cioè, la $f$ nella $x$ e la $g$ nella $y$).
Ergo il teorema di Nash mi garantisce che c'è un equilibrio di Nash.
Infatti, $(1,1)$...
Provaci ancora, Mirko909
Payoff continui e inoltre lineari (ergo quasi concave) nella variabile decisionale corrispondente (cioè, la $f$ nella $x$ e la $g$ nella $y$).
Ergo il teorema di Nash mi garantisce che c'è un equilibrio di Nash.
Infatti, $(1,1)$...
Provaci ancora, Mirko909
Ma, considerando il Teorema di Nash e le richieste del problema che è stato posto, l'unica "scappatoia" per evitare di avere un equilibrio di Nash con funzioni continue e spazi compatti è proprio quello di fare in modo che le due funzioni non siano quasi-concave nella variabile corrispondente, è esatto?
So che forse è una domanda stupida, ma non riesco a trovare in rete la definizione di funzione quasi-concava. Puoi illuminarmi?
So che forse è una domanda stupida, ma non riesco a trovare in rete la definizione di funzione quasi-concava. Puoi illuminarmi?
"Mirko909":
So che forse è una domanda stupida, ma non riesco a trovare in rete la definizione di funzione quasi-concava. Puoi illuminarmi?
La lucetta mia è già accesa in rete, naturalmente:
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... kutani.pdf
pag. 16
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