Teoria 1: gioco in forma strategica ed equilibrio di Nash
Un gioco a due giocatori in forma strategica è:
$(X,Y,f,g)$
Dove:
- $X,Y$ sono insiemi
- $f,g: X \times Y to RR$
Un equilibrio di Nash per $G=(X,Y,f,g)$ è una coppia ordinata $(\bar x, \bar y) \in X \times Y$ tale che:
- $f(\bar x, \bar y) \ge f(x, \bar y) \qquad \forall x \in X$
- $g(\bar x, \bar y) \ge g(\bar x, y) \qquad \forall y \in Y$
Fornire un esempio di un gioco con uno ed un solo equilibrio di Nash.
Fornire un esempio di un gioco senza equilibri di Nash.
Fornire un esempio di un gioco con esattamente 3 equilibri di Nash.
Ogni commento (pertinente) è benvenuto.
$(X,Y,f,g)$
Dove:
- $X,Y$ sono insiemi
- $f,g: X \times Y to RR$
Un equilibrio di Nash per $G=(X,Y,f,g)$ è una coppia ordinata $(\bar x, \bar y) \in X \times Y$ tale che:
- $f(\bar x, \bar y) \ge f(x, \bar y) \qquad \forall x \in X$
- $g(\bar x, \bar y) \ge g(\bar x, y) \qquad \forall y \in Y$
Fornire un esempio di un gioco con uno ed un solo equilibrio di Nash.
Fornire un esempio di un gioco senza equilibri di Nash.
Fornire un esempio di un gioco con esattamente 3 equilibri di Nash.
Ogni commento (pertinente) è benvenuto.
Risposte
"Mirko909":io odio i conti (anche i marchesi, i duchi, etc. per non parlare di certi "cavalieri"), quindi verifiche nisba. Se ti può interessare, io sono un passato matematico che ha rispetto per l'ingegneria (non tutta, eh!).
inizialmente ho provato a cercare un gioco con tre equilibri di Nash utilizzando insiemi compatti reali e funzioni continue ma con scarsi risultati.. Mi sono reso conto infatti che se esiste un equilibrio, sotto queste ipotesi, è unico.
Specifico che non l'ho assolutamente dimostrato e non credo di essere in grado di farlo (sono un futuro ingegnere anche se con una spiccata passione per la matematica), ma è stata solo una "impressione" che ho avuto.
La domanda quindi è, è possibile trovare una soluzione a questo problema utilizzando due insiemi compatti?
Quanto alle tue impressioni, sono sbagliate.
Si può tranquillamente con insiemi compatti. Basta togliersi le fette di salame temporaneamente posteggiate davanti agli occhi. O, meglio, davanti all'idea di cosa sia un insieme compatto, I guess and believe.
Beh, la definizione di insieme compatto è che sia chiuso e limitato.
Ma adesso che ci penso, in $RR^[n]$ possiamo anche prendere l'unione di k insiemi formati da un solo punto, trovando così un insieme compatto.. è esatto? (è un'illuminazione che mi è venuta grazie un teorema studiato in Analisi II)
Se fosse così, il mio esempio andrebbe bene!
Ma adesso che ci penso, in $RR^[n]$ possiamo anche prendere l'unione di k insiemi formati da un solo punto, trovando così un insieme compatto.. è esatto? (è un'illuminazione che mi è venuta grazie un teorema studiato in Analisi II)
Se fosse così, il mio esempio andrebbe bene!
"Mirko909":"definizione" da ingegnere
Beh, la definizione di insieme compatto è che sia chiuso e limitato.
Quella è semmai una caratterizzazione dei compatti in $RR^n$.
La definizione richiede che ogni ricoprimento aperto ammetta un sottoricoprimento finito...
"Mirko909":La strada è buona, molto buona.
Ma adesso che ci penso, in $RR^[n]$ possiamo anche prendere l'unione di k insiemi formati da un solo punto, trovando così un insieme compatto.. è esatto? (è un'illuminazione che mi è venuta grazie un teorema studiato in Analisi II)
In questo caso, l'esempio più banale che mi viene in mente è:
$X=Y={0}uu{1} = {0,1}$
Con una matrice dei payoff che è:
$(x,y)$ $0$ $1$
$0$ $(0,0)$ $(1,1)$
$1$ $(1,1)$ $(1,1)$
(mi scuso per la formattazione della matrice ma non riesco a fare di meglio
)
Che ha evidentemente tre Equilibri di Nash!
$X=Y={0}uu{1} = {0,1}$
Con una matrice dei payoff che è:
$(x,y)$ $0$ $1$
$0$ $(0,0)$ $(1,1)$
$1$ $(1,1)$ $(1,1)$
(mi scuso per la formattazione della matrice ma non riesco a fare di meglio
)Che ha evidentemente tre Equilibri di Nash!
Esatto.
[size=84]Quanto alla matrice, volendo si può formattare meglio, ci sono esempi nella sezione di TdG.[/size]
[size=84]Quanto alla matrice, volendo si può formattare meglio, ci sono esempi nella sezione di TdG.[/size]
E come si fa a trovare tali funzioni a partire da casi reali e pratici?
(Esempio: gioco finanziario tra imprese, giochi da tavolo ecc)
(Esempio: gioco finanziario tra imprese, giochi da tavolo ecc)
ragazzi scusatemi,premetto che non sono una scheggia cn qsti giochi,ma ho una domanda se in un gioco esiste una strategia dominante per entrambi i giocatori è possibile effettuare l'estensione mista? se si come si fa,se no xkè spero mi aiutate grazie
"jeanantonio":
ragazzi scusatemi,premetto che non sono una scheggia cn qsti giochi,ma ho una domanda se in un gioco esiste una strategia dominante per entrambi i giocatori è possibile effettuare l'estensione mista? se si come si fa,se no xkè spero mi aiutate grazie
L'estensione mista di un gioco finito è definita sempre. Non ha nessuna importanza che ci siano strategie dominanti o no. Casomai, se un giocatore ha una strategia dominante, l'uso di strategie miste per questo giocatore è poco furbo.
grazie mille,quindi è impossibile che mi venga svolgendo l'estensione mista una propabilità maggiore di uno?quindi sono stato io a sbalgiare i calcoli o c'è la possibilità che accada?
scusami se approfitto delle tue conoscenze se ho un gioco del genere :
a b
c 3,5 2,2
d 3,7 -2,2
qual'è in qst caso l'equilibrio io all'inizio avrei detto ad,ma poi pensandoci un pokino penso sia ac dove il giocatore di riga rishia di meno,questo svolgendolo mi da un p per il giocatore riga uguale a 1 el'altra la q uguale a 2,che significa? grazie di aiutarmi con le tue conoscenze ciaoooo
scusami se approfitto delle tue conoscenze se ho un gioco del genere :
a b
c 3,5 2,2
d 3,7 -2,2
qual'è in qst caso l'equilibrio io all'inizio avrei detto ad,ma poi pensandoci un pokino penso sia ac dove il giocatore di riga rishia di meno,questo svolgendolo mi da un p per il giocatore riga uguale a 1 el'altra la q uguale a 2,che significa? grazie di aiutarmi con le tue conoscenze ciaoooo
grazie di avermi postate le regole del forum,xò non ho capito che significano i linguaggi text e l'altro,vediamo un pò se puoi almeno schiarirmi le idee,le probabilità che ogni giocatore assegna all'alle possibili scelte dell'altro giocatore devono essere non negative e sommate pari a uno,e ok ,qualora tt le strategie vengono giocate con probabilità zero ad eccezione di una, la strategia mista collassa in una strategia pura.e ok anke qsto.qualora in vece questa probabilita sia maggiore di uno? allora qst invece che significa?xciò avevo postato anke il gioco xkè è l'unico ke ho trovato ke mi da qst risultato
nessuno può darmi questo chiarimento?
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