Teoria 1: gioco in forma strategica ed equilibrio di Nash
Un gioco a due giocatori in forma strategica è:
$(X,Y,f,g)$
Dove:
- $X,Y$ sono insiemi
- $f,g: X \times Y to RR$
Un equilibrio di Nash per $G=(X,Y,f,g)$ è una coppia ordinata $(\bar x, \bar y) \in X \times Y$ tale che:
- $f(\bar x, \bar y) \ge f(x, \bar y) \qquad \forall x \in X$
- $g(\bar x, \bar y) \ge g(\bar x, y) \qquad \forall y \in Y$
Fornire un esempio di un gioco con uno ed un solo equilibrio di Nash.
Fornire un esempio di un gioco senza equilibri di Nash.
Fornire un esempio di un gioco con esattamente 3 equilibri di Nash.
Ogni commento (pertinente) è benvenuto.
$(X,Y,f,g)$
Dove:
- $X,Y$ sono insiemi
- $f,g: X \times Y to RR$
Un equilibrio di Nash per $G=(X,Y,f,g)$ è una coppia ordinata $(\bar x, \bar y) \in X \times Y$ tale che:
- $f(\bar x, \bar y) \ge f(x, \bar y) \qquad \forall x \in X$
- $g(\bar x, \bar y) \ge g(\bar x, y) \qquad \forall y \in Y$
Fornire un esempio di un gioco con uno ed un solo equilibrio di Nash.
Fornire un esempio di un gioco senza equilibri di Nash.
Fornire un esempio di un gioco con esattamente 3 equilibri di Nash.
Ogni commento (pertinente) è benvenuto.
Risposte
"Fioravante Patrone":
Fornire un esempio di un gioco con uno ed un solo equilibrio di Nash.
X=[0, 1];
Y=[0, 1];
f(x,y)=x+y;
g(x,y)=x+y;
coppia $(\bar x; \bar y) = (1,1) $
troppo banale?
"wedge":
troppo banale?
Non c'è mai limite alla banalità:
$X=Y={1}$
Non scrivo neanche $f$ e $g$...
L'esempio tuo (e il mio
) è interessante perché è un esempio di "massimo ombra" (rende max contemporaneamente $f$ e $g$), la cui esistenza è rara. Tranne che per i giochi di puro coordinamento (detto un po' alla buona, i giochi in cui $f=g$), come il tuo
"Fioravante Patrone":
Fornire un esempio di un gioco con esattamente 3 equilibri di Nash.
$({1}, {1,2,3}, f, f)$
dove $f$ e' una qualunque funzione costante. Piu' banale di così...
e un gioco senza equilibri di Nash?
"Fioravante Patrone":
e un gioco senza equilibri di Nash?
X, Y = R
f= x+y
g=x*y
Esagerato!
Volevi farci sapere che, oltre alle addizioni, conosci anche le moltiplicazioni? Non ce n'era bisogno
Volevi farci sapere che, oltre alle addizioni, conosci anche le moltiplicazioni? Non ce n'era bisogno
ehm... premetto di non sapere nulla di teoria dei giochi e magari la mia domanda sarà banale, ma non ho capito perchè quella formalizzazione dovrebbe rappresentare un gioco con due giocatori in forma strategica... qual è il significato degli insiemi? e delle funzioni?
"ubermensch":
ehm... premetto di non sapere nulla di teoria dei giochi e magari la mia domanda sarà banale, ma non ho capito perchè quella formalizzazione dovrebbe rappresentare un gioco con due giocatori in forma strategica... qual è il significato degli insiemi? e delle funzioni?
Gli insiemi rappresentano le strategie che un giocatore può attuare. Le funzioni rappresentano l'utilità che ciascun giocatore riceve se una certa coppia di strategie si verifica.
bene.. grazie!
Domanda: L'equilibrio di Nash cosa sottointende?? Voglio dire, la definizione data sopra mi è chiara ma il perchè della sua denominazione "equilibrio" meno, con tutta probabilità mi manca qualche cosa per poterlo capire e per questo richiedo delucidazioni.
La risposta la si trova sul piano interpretativo.
Vi sono alcune "giustificazioni" per l'uso dell'equilibrio di Nash come concetto di soluzione.
Menziono rapidamente le due principali.
- l'equilibrio di Nash può essere visto come una condizione di stabilità per un accordo non vincolante fra i giocatori. Garantisce che nessuno dei giocatori abbia un incentivo a deviare unilateralmente rispetto all'accordo.
- l'equilibrio di Nash esprime una condizione necessaria per un concetto di soluzione che sia proponibile per decisori razionali ed intelligenti: una teoria che proponesse una soluzione non equilibrio di Nash, sarebbe auto-distruttiva. Questo argomento è un ottimo argomento se assumiamo che la soluzione sia unica. E' una condizione molto meno convincente in presenza di non unicità (come spesso capita con l'equilibrio di Nash...)
Vi sono alcune "giustificazioni" per l'uso dell'equilibrio di Nash come concetto di soluzione.
Menziono rapidamente le due principali.
- l'equilibrio di Nash può essere visto come una condizione di stabilità per un accordo non vincolante fra i giocatori. Garantisce che nessuno dei giocatori abbia un incentivo a deviare unilateralmente rispetto all'accordo.
- l'equilibrio di Nash esprime una condizione necessaria per un concetto di soluzione che sia proponibile per decisori razionali ed intelligenti: una teoria che proponesse una soluzione non equilibrio di Nash, sarebbe auto-distruttiva. Questo argomento è un ottimo argomento se assumiamo che la soluzione sia unica. E' una condizione molto meno convincente in presenza di non unicità (come spesso capita con l'equilibrio di Nash...)
soluzione elaborata con zkeggia:
per 0 equilibri:
$f(x) = x \oplus y$
$g(x) = \not(x \oplus y)$
con $x ,y \in \{ 0, 1 \} \subset \mathbb{N}$.
per 0 equilibri:
$f(x) = x \oplus y$
$g(x) = \not(x \oplus y)$
con $x ,y \in \{ 0, 1 \} \subset \mathbb{N}$.
"dzcosimo":dopo aver tanto mangiato e, soprattutto, bevuto?
soluzione elaborata con zkeggia
Mi stupisce una f(x) che dipende anche da una y. Sarebbe f(x,y)?
Non so cosa intendiate col simbolo di somma diretta.
Non mi è chiaro il "non" davanti a quello che dovrebbe essere un numero reale (immagino, presumo).
Mi scuso se riesumo questo post, ma mi sto interessando alla teoria dei giochi e volevo provare a risolvere il primo esercizio (ovvero quello di trovare un gioco con un solo Equilibrio di Nash).
$f(x,y) = x*y$
$g(x,y) = y$
$X = [1,2]$
$Y = [0,1]$
L'unico Equilibrio di Nash dovrebbe essere:
$(x,y) = (2,1)$
Mi scuso in anticipo in caso avessi scritto qualche castroneria.
$f(x,y) = x*y$
$g(x,y) = y$
$X = [1,2]$
$Y = [0,1]$
L'unico Equilibrio di Nash dovrebbe essere:
$(x,y) = (2,1)$
Mi scuso in anticipo in caso avessi scritto qualche castroneria.
Mi spiace, nessuna castroneria
Ti ringrazio.
Volevo porre una domanda:
C'è per caso una condizione sufficiente affinchè un gioco abbia almeno un equilibrio di Nash? Necessaria? Se sì, è possibile verificarle in modo analitico?
Grazie in anticipo.
Volevo porre una domanda:
C'è per caso una condizione sufficiente affinchè un gioco abbia almeno un equilibrio di Nash? Necessaria? Se sì, è possibile verificarle in modo analitico?
Grazie in anticipo.
"Mirko909":Sufficiente? Beh, potrebbe essere il teorema di Nash! Lo trovi su "tutti" il libri di TdG. E anche qui:
C'è per caso una condizione sufficiente affinchè un gioco abbia almeno un equilibrio di Nash? Necessaria? Se sì, è possibile verificarle in modo analitico?
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... kutani.pdf
Necessaria? Non è un campo molto studiato.
Verifiche "analitiche"? Certo, il teorema di Nash (ad esempio) ha ovviamente delle ipotesi e quindi si tratta di verificare se sono soddisfatte. Lo stesso dicasi per altri teoremi (o per piccole generalizzazioni del teorema di Nash, che vengono spesso indicate ancora come "teorema di Nash").
Grazie della risposta come al solito esauriente.
Per quanto riguarda un gioco senza equilibri di Nash, banalmente potremmo prendere:
$f(x,y) = x$
$g(x,y) = y$
con $X=Y=RR$
In questo caso avremo le relazioni:
$bar{x} >= x$ e
$bar{y} >= y$
che, dal momento che $RR$ non ammette max, non potrebbero mai essere soddisfatte da nessuna coppia $(bar{x},bar{y})$
E' esatto?
Intanto mi metto al lavoro per trovare un gioco con esattamente tre equilibri di Nash. (temo che sarà un impresa ardua!)
Per quanto riguarda un gioco senza equilibri di Nash, banalmente potremmo prendere:
$f(x,y) = x$
$g(x,y) = y$
con $X=Y=RR$
In questo caso avremo le relazioni:
$bar{x} >= x$ e
$bar{y} >= y$
che, dal momento che $RR$ non ammette max, non potrebbero mai essere soddisfatte da nessuna coppia $(bar{x},bar{y})$
E' esatto?
Intanto mi metto al lavoro per trovare un gioco con esattamente tre equilibri di Nash. (temo che sarà un impresa ardua!)
Esatto.
Buona ricerca!
Buona ricerca!
Eureka! (forse)
$f(x,y)=g(x,y)= x+y -x*y*e^{2-(x+y)}$
$X=Y={0,1}$
I tre equilibri di Nash dovrebbero essere: $(0,1) (1,0) (1,1)$
Se è esatto volevo porre un'altra domanda (grazie per la tua infinita pazienza):
inizialmente ho provato a cercare un gioco con tre equilibri di Nash utilizzando insiemi compatti reali e funzioni continue ma con scarsi risultati.. Mi sono reso conto infatti che se esiste un equilibrio, sotto queste ipotesi, è unico.
Specifico che non l'ho assolutamente dimostrato e non credo di essere in grado di farlo (sono un futuro ingegnere anche se con una spiccata passione per la matematica), ma è stata solo una "impressione" che ho avuto.
La domanda quindi è, è possibile trovare una soluzione a questo problema utilizzando due insiemi compatti?
$f(x,y)=g(x,y)= x+y -x*y*e^{2-(x+y)}$
$X=Y={0,1}$
I tre equilibri di Nash dovrebbero essere: $(0,1) (1,0) (1,1)$
Se è esatto volevo porre un'altra domanda (grazie per la tua infinita pazienza):
inizialmente ho provato a cercare un gioco con tre equilibri di Nash utilizzando insiemi compatti reali e funzioni continue ma con scarsi risultati.. Mi sono reso conto infatti che se esiste un equilibrio, sotto queste ipotesi, è unico.
Specifico che non l'ho assolutamente dimostrato e non credo di essere in grado di farlo (sono un futuro ingegnere anche se con una spiccata passione per la matematica), ma è stata solo una "impressione" che ho avuto.
La domanda quindi è, è possibile trovare una soluzione a questo problema utilizzando due insiemi compatti?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo