Teorema dell'impossibilità di Arrow, dimostrazione

[asabasa]

Enunciato:
Se l'insieme degli agenti $V$ è finito, l'insieme $A$ delle alternative ha $card(A)>=3$ e $sigma$ è una funzione di benessere sociale arroviana (FBSA) allora $sigma$ ammette necessariamente un dittatore.

Dimostrazione I :
presa una partizione $Pi$ dell'insieme $V$ e un $F$ è un ultrafiltro su $V$ si dimostra che un unico elemento di $Pi$ cade in $F$.
Poiché il Teorema di Kirman-Sondermann garantisce che l'insieme delle coalizioni decisive forma un ultrafiltro su $V$, tra le coalizioni decisive ne esiste una composta da un solo agente (perchè l'insieme $V$ è finito).

Dimostrazione II :
Dovrebbe essere di tipo "grafico"

Si prende uno stato $f_0$ in cui un'alternativa $c$ è la peggiore per tutti gli agenti, e quindi $c$ è la peggiore per l'intera società.
cioè $(c,a)notin uu_i f_i Rightarrow (c,a) notin sigma(f_0) AA ainA- {c}$
Definiamo poi uno stato uno stato $f_1$ in cui $c$ è l'alternativa migliore per il primo agente, e la peggiore per tutti gli altri.
Fino ad arrivare ad uno stato $f_i$ dove $c$ è l'alternativa migliore per i primi $i$ agenti e la peggiore per i successivi $k-i$ agenti (dove $k$ è il numero totale degli agenti).
Lo scopo finale della dimostrazione è provare $c$ per la società può essere o la peggiore o la migliore fra le alternative e non può trovarsi "in mezzo"

Qualcuno sa il prosieguo?
O anche spiegarmi a "grandi linee" il continuo?

L'ho trovata su un libro Advanced Microeconomics Theory ma è bella lunga e in inglese e ho avuto difficoltà a comprenderla

[asabasa]

$f_0$ $((.,.,.,...,.),(.,.,.,...,.),(.,.,.,...,.),(c,c,c,...,c))$ per la società abbiamo che $sigma(f_0)$ $=$ $((.),(.),(.),(c))$

$f_1$ $((c,.,...,...,.),(.,.,...,...,.),(.,.,...,...,.),(.,c,...,c,c))$

$f_2$ $((c,c,.,...,...,.),(.,.,.,...,...,.),(.,.,.,...,...,.),(.,.,c,...,c,c))$

. . .
. . .
. . .

$f_k$ $((c,c,c,...,c),(.,.,.,...,.),(.,.,.,...,.),(.,.,.,...,.))$ per la società abbiamo che $sigma(f_k)$ $=$ $((c),(.),(.),(.))$


Sia $i$ l'individuo che cambiando il suo ordinamento di preferenza cambia anche l'ordinamento sociale, quindi tale che:
$sigma(f_i)=((c),(.),(.),(.))$


Suggerimenti?


EDIT

consideriamo uno stato h (ci interessa solo la preferenza di $i$)
$((1,...,i-1,i,i+1,...,K),(.,...,.,.,.,...,.),(.,...,.,a,.,...,.),(.,...,.,.,.,...,.),(.,...,.,b,.,...,.),(.,...,.,.,.,...,.))$ dove $a>-_ib$ e quindi $a>-b$ anche per la società

consideriamo uno stato g, che coincide con $f_i$ solo che in $i$ si ha che $((a),(c),(b))$
$g$ $((1,...,i-1,i,i+1,...,K),(c,...,c,.,.,...,.),(.,...,.,a,.,...,.),(.,...,.,c,.,...,.),(.,...,.,b,.,...,.),(.,...,.,.,c,..,c))$

${a,c}$ $g= f_i$ perché per la preferenza sociale $c$ era la peggiore alternativa per cui $a>-c$

${b,c}$ $g=f_i$ perché per la preferenza sociale $c$ era la migliore alternativa per cui $c>-b$

da cui segue per la transitività $a>-_ib$ in $sigma(g)$, poirchè risulta che $h=g$ su ${a,b}$ lo stesso vale per $sigma(h)$

[asabasa]

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