Sapresti darmi dei suggeriment?
Quando in teoria dei giochi devo risolvere un esercizio da dove devo partire?
Cioe' c'e' un metodo non dico standard che bisogna adotatre per arrivare alla soluzione del probelam?
Ad esempio...
Se considero una popolazione di elettori distribuita uniformemente lungo lo spettro delle ideologie che va da sinistra (x=0) a destra (x=1) .
I partiti politici che concorrono per una elezione devono scegliere la propria piattaforma elettorale (cioè un punto sul segmento di estremi 0 ed 1)
Ciascun elettore osserva la scelta dei partiti e vota per il partito la cui piattaforma è piu vicina alla posizione dell elettore sullo spettro.
(Ad esempio se ho ben capito.. se vi sono due partiti che scelgono le posizioni x(1)=0,3 ed x(2)=0,6 tutti gli elettori a sinistar di 0,45 votano per il primo partito e tutti gli elettori a destra votano per il secondo partito e il secondo partito voince l lezione
Si assuma che, se più partiti scelgono la stessa piattaforma, essi si dividono in parti
uguali i voti ottenuti sulla base di quella piattaforma e il vincitore dell’elezione
viene determinato mediante il lancio di una moneta. Ai partiti interessa solo
essere eletti e non interessa affatto la piattaforma.
(a) Se vi sono due partiti politici, qual’è l’equilibrio di Nash in strategie pure?
Cioe' c'e' un metodo non dico standard che bisogna adotatre per arrivare alla soluzione del probelam?
Ad esempio...
Se considero una popolazione di elettori distribuita uniformemente lungo lo spettro delle ideologie che va da sinistra (x=0) a destra (x=1) .
I partiti politici che concorrono per una elezione devono scegliere la propria piattaforma elettorale (cioè un punto sul segmento di estremi 0 ed 1)
Ciascun elettore osserva la scelta dei partiti e vota per il partito la cui piattaforma è piu vicina alla posizione dell elettore sullo spettro.
(Ad esempio se ho ben capito.. se vi sono due partiti che scelgono le posizioni x(1)=0,3 ed x(2)=0,6 tutti gli elettori a sinistar di 0,45 votano per il primo partito e tutti gli elettori a destra votano per il secondo partito e il secondo partito voince l lezione
Si assuma che, se più partiti scelgono la stessa piattaforma, essi si dividono in parti
uguali i voti ottenuti sulla base di quella piattaforma e il vincitore dell’elezione
viene determinato mediante il lancio di una moneta. Ai partiti interessa solo
essere eletti e non interessa affatto la piattaforma.
(a) Se vi sono due partiti politici, qual’è l’equilibrio di Nash in strategie pure?
Risposte
La "game form" (che è ovviamente in forma strategica) è: $(X,Y,E,h)$.
Dove $X=Y=[0,1]$; $E={$ "vince $I$", "il vincitore è estratto a sorte con probabilità $1/2$", "vince $II$"$}={V,N,P}$ (uso $V,N,P$ per semplicità, e penso che sia evidente che cosa vogliono dire.
Comunque:
$V =$ "vince $I$",
$N =$ "il vincitore è estratto a sorte con probabilità $1/2$",
$P =$ "vince $II$"$.
La funzione $h:X \times Y \to E$ è determinata nel modo seguente (per $(x,y) \in [0,1] \times [0,1]$:
- se $x=y$, l'esito è $N$.
- se $x < y$, gli elettori che votano per $I$ stanno in $[0, \frac{x+y}{2}]$ , quelli che votano per $II$ in $[\frac{x+y}{2},1]$. Quindi sono di più quelli che votano per $I$ se e solo se $\frac{x+y}{2} > 1 - \frac{x+y}{2}$, cioè se e solo se $x+y > 1$.
- se $x > y$, le disuguaglianze si rovesciano e vince $I$ se $x+y < 1$.
Facendo un disegno, abbiamo un quadrato t.c. sulle diagonali l'esito è $N$, sui due triangolini sopra e sotto le diagonali vince $I$, su quelli a sx e dx delle diagonali vince $II$.
Se assumiamo che $I$ preferisca $V$ a $N$ e $N$ a $P$, e che le preferenza di $II$ siano rovesciate, si vede immediatamente che c'è un unico equilibrio di Nash: $(1/2,1/2)$.
Infatti, che questo sia un equilibrio di Nash lo si vede immediatamente, applicando la definizione. Inoltre, come si comprende anche "intuitivamente", eccetto questa coppia di valori, per ogni altro $(\bar x, \bar y)$, almeno uno dei due giocatori ("partiti") ha convenienza a spostarsi, per "raccattare" più voti.
Credo che il modo più immediato per "vedere" la correttezza di queste affermazioni sia fare un disegno del quadrato e delle due diagonali.
Si può anche rappresentare chi siano le "best reply" dei due giocatori, sempre nel disegno succitato. Si nota come l'unico punto che appartiene alla intersezione dei "grafici" (io li chiamo "grafici ridotti") delle due multiapplicazioni di "best reply" è il centro del quadrato.
Insomma, un modellino semplice semplice che dà un po' l'idea di cosa si intenda per "corsa al centro". Clemente docet
Dove $X=Y=[0,1]$; $E={$ "vince $I$", "il vincitore è estratto a sorte con probabilità $1/2$", "vince $II$"$}={V,N,P}$ (uso $V,N,P$ per semplicità, e penso che sia evidente che cosa vogliono dire.
Comunque:
$V =$ "vince $I$",
$N =$ "il vincitore è estratto a sorte con probabilità $1/2$",
$P =$ "vince $II$"$.
La funzione $h:X \times Y \to E$ è determinata nel modo seguente (per $(x,y) \in [0,1] \times [0,1]$:
- se $x=y$, l'esito è $N$.
- se $x < y$, gli elettori che votano per $I$ stanno in $[0, \frac{x+y}{2}]$ , quelli che votano per $II$ in $[\frac{x+y}{2},1]$. Quindi sono di più quelli che votano per $I$ se e solo se $\frac{x+y}{2} > 1 - \frac{x+y}{2}$, cioè se e solo se $x+y > 1$.
- se $x > y$, le disuguaglianze si rovesciano e vince $I$ se $x+y < 1$.
Facendo un disegno, abbiamo un quadrato t.c. sulle diagonali l'esito è $N$, sui due triangolini sopra e sotto le diagonali vince $I$, su quelli a sx e dx delle diagonali vince $II$.
Se assumiamo che $I$ preferisca $V$ a $N$ e $N$ a $P$, e che le preferenza di $II$ siano rovesciate, si vede immediatamente che c'è un unico equilibrio di Nash: $(1/2,1/2)$.
Infatti, che questo sia un equilibrio di Nash lo si vede immediatamente, applicando la definizione. Inoltre, come si comprende anche "intuitivamente", eccetto questa coppia di valori, per ogni altro $(\bar x, \bar y)$, almeno uno dei due giocatori ("partiti") ha convenienza a spostarsi, per "raccattare" più voti.
Credo che il modo più immediato per "vedere" la correttezza di queste affermazioni sia fare un disegno del quadrato e delle due diagonali.
Si può anche rappresentare chi siano le "best reply" dei due giocatori, sempre nel disegno succitato. Si nota come l'unico punto che appartiene alla intersezione dei "grafici" (io li chiamo "grafici ridotti") delle due multiapplicazioni di "best reply" è il centro del quadrato.
Insomma, un modellino semplice semplice che dà un po' l'idea di cosa si intenda per "corsa al centro". Clemente docet
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