Problema di economia

[gcappellotto]

Salve
Non riesco a risolvere correttamente questo problema.

Un'impresa produce un bene e lo vende su due mercati. La legge della domanda è:
$q1=2000-2p1-p2$
$q2=1500-p1-p2$
Il costo unitario di produzione è:
$C1=300$
$C2=400$
Determinare per quali quantitativi del bene l'impresa consegue il massimo profitto.

Ho scritto la funzione dell'utile e quindi ho trovato le due derivate parziali che ho posto uguali a zero.
il problema è che mi ritrovo due incognite nel sistema che non si possono eliminare.
Sicuramente ho sbagliato qualcosa..

Grazie per le indicazioni e saluti
Giovanni

[Studente Anonimo]

"gcappellotto":Salve
Non riesco a risolvere correttamente questo problema.

Un'impresa produce un bene e lo vende su due mercati. La legge della domanda è:
$q1=2000-2p1-p2$
$q2=1500-p1-p2$
Il costo unitario di produzione è:
$C1=300$
$C2=400$
Determinare per quali quantitativi del bene l'impresa consegue il massimo profitto.

Ho scritto la funzione dell'utile e quindi ho trovato le due derivate parziali che ho posto uguali a zero.
il problema è che mi ritrovo due incognite nel sistema che non si possono eliminare.
Sicuramente ho sbagliato qualcosa..

Grazie per le indicazioni e saluti
Giovanni

Il profitto è pari a $U=p_1q_1+p_2q_2-c_1q_1-c_2q_2$.
Innanzitutto iniziamo a sostituire le espressioni: $U=p_1(2000-2p_1-p_2)+p_2(1500-p_1-p_2)-300q_1-400q_2$. Ora al posto di $q_1$ e $q_2$ inseriamo quanto abbiamo dall'esercizio:
$U=p_1(2000-2p_1-p_2)+p_2(1500-p_1-p_2)-300(2000-2p_1-p_2)-400(1500-p_1-p_2)$
Alla fine dei calcoli otteniamo: $U=-1200000+3000p_1-2p_1^2+2200p_2-2p_1p_2-p_2^2$.
A questo punto calcoli $U'(p_1)$ e $U'(p_2)$ e li poni pari a $0$. Dovresti avere due equazioni $3000-4p_1-2p_2=0$ e $2200-2p_1-2p_2=0$. $p_1=400$ e $p_2=700$. $q_1$ e $q_2$ calcolali tu, sono abbastanza semplici (sostituzione).