Problema di Econometria
Ciao a tutti, un esercizio di econometria mi chiede
dato il modello εβ
$ y_i=βx_i + ε_i$ con $E[ε_i|x_i]=0$ ed $E[(ε_i)^2|x_i]=(σ)^2$
si consideri lo stimatore $hat (β)=(sum y_i) / (sum x_i) $ [size=85](per comodità tralascio gli indici di sommatoria, che dove non diversamente specificato sono da intendersi da i=1 a n)[/size]
i) verificare se lo stimatore è corretto - Verificabile facilmente sostituendo y_i con il modello e calcolando i valori attesi condizionali
ii) Calcolare la varianza dello stimatore - Poichè per la linearità del modello gli $ε_i$ sono tra loro incorrelati la varianza a me viene: $ n((σ)^2)/(sum x_i)^2$ potete dirmi se questo risultato è corretto?
iii) Valutare l'efficienza rispetto allo stimatore degli MQO che per questo modello è $Var(bar (β))=((σ)^2)/(sum (x_i)^2)$
Per il teorema di Gauss-Markov lo stimatore degli MQO è ottimale, cioè ha varianza minima tra tutti gli stimatori corretti.
Quindi deve essere vero che $Var(hat (β))\geq Var(bar(β))$ cioè $ n((σ)^2)/(sum x_i)^2 \geq ((σ)^2)/(sum (x_i)^2)$ cosa che però non riesco a dimostrare, anche perchè "a occhio" il quadrato della sommatoria, tranne che per $n=1$, è sempre più grande della somma dei quadrati, e non penso che il moltiplicatore n possa avere un qualche impatto...quindi immagino ci sia un errore nel calcolo della varianza, potete aiutarmi?
dato il modello εβ
$ y_i=βx_i + ε_i$ con $E[ε_i|x_i]=0$ ed $E[(ε_i)^2|x_i]=(σ)^2$
si consideri lo stimatore $hat (β)=(sum y_i) / (sum x_i) $ [size=85](per comodità tralascio gli indici di sommatoria, che dove non diversamente specificato sono da intendersi da i=1 a n)[/size]
i) verificare se lo stimatore è corretto - Verificabile facilmente sostituendo y_i con il modello e calcolando i valori attesi condizionali
ii) Calcolare la varianza dello stimatore - Poichè per la linearità del modello gli $ε_i$ sono tra loro incorrelati la varianza a me viene: $ n((σ)^2)/(sum x_i)^2$ potete dirmi se questo risultato è corretto?
iii) Valutare l'efficienza rispetto allo stimatore degli MQO che per questo modello è $Var(bar (β))=((σ)^2)/(sum (x_i)^2)$
Per il teorema di Gauss-Markov lo stimatore degli MQO è ottimale, cioè ha varianza minima tra tutti gli stimatori corretti.
Quindi deve essere vero che $Var(hat (β))\geq Var(bar(β))$ cioè $ n((σ)^2)/(sum x_i)^2 \geq ((σ)^2)/(sum (x_i)^2)$ cosa che però non riesco a dimostrare, anche perchè "a occhio" il quadrato della sommatoria, tranne che per $n=1$, è sempre più grande della somma dei quadrati, e non penso che il moltiplicatore n possa avere un qualche impatto...quindi immagino ci sia un errore nel calcolo della varianza, potete aiutarmi?
Risposte
Già aperto in Statistica; continua li'.
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