Econometria - modelli di regressione
ciao a tutti ho un problema abbastanza grosso con l' Econometria e visto che ho l'esame entro breve volevo proporvi qualche domande degli esami passati che non ero riuscito a risolvere per vedere se magari potevate darmi gentilmente una mano..
Consideriamo un modello di regressione con k=5
1- si descriva in generale l'espressione matriciale Rβ=r che descrive tutte le ipotesi sui paramentri del modello;
2. si specifichino i termini dell'espressione nel caso delle seguenti ipotesti
a. H0:β1= β3 (i valori numerici dopo H e β sono pedici solo che non sono riuscito a metterli come pedici)
b. H0:β1+3β2= 0
c. H0: β4 = 5B5
3- partendo dalla suddetta espressione matriciale e considerando la distribuzione campionaria di Rb si derivi il test F
Purtruppo sono riuscito più o meno a capire solo come risolvere l'ultimo punto ma degli altri due non saprei nemmeno come partire..cerco almeno uno spunto per risovlerli.grazie di tutto.ciao
Consideriamo un modello di regressione con k=5
1- si descriva in generale l'espressione matriciale Rβ=r che descrive tutte le ipotesi sui paramentri del modello;
2. si specifichino i termini dell'espressione nel caso delle seguenti ipotesti
a. H0:β1= β3 (i valori numerici dopo H e β sono pedici solo che non sono riuscito a metterli come pedici)
b. H0:β1+3β2= 0
c. H0: β4 = 5B5
3- partendo dalla suddetta espressione matriciale e considerando la distribuzione campionaria di Rb si derivi il test F
Purtruppo sono riuscito più o meno a capire solo come risolvere l'ultimo punto ma degli altri due non saprei nemmeno come partire..cerco almeno uno spunto per risovlerli.grazie di tutto.ciao
Risposte
Ciao. Si tratta di scrivere i vincoli nella forma matriciale $R\beta=r$, dove $R$ prende il nome di matrice delle restrizioni. Nel caso tu volessi imporre $q$ restrizioni al modello con $k$ regressori, allora $R$ è una matrice $q\times k$ ed $r$ è un vettore $q\times1$
Facciamo un esempio che si capisce meglio. Supponi di avere il modello
$Y_{i}=\beta_{0}+\beta_{1}X_{i1}+\beta_{2}X_{i2}+\beta_{3}X_{i3}+u_{i}$
dove $i=1,...,n$.
Supponi di voler imporre il seguente vincolo: $\beta_{2}+\beta_{3}=1$. Nella matrice $R$ metti coefficienti dei parametri, nell'ordine in cui questi stanno nel vettore $\beta$, che compaiono nel vincolo e questi sono: $0$ per $\beta_{0}$ e $\beta_{1}$; $1$ per $\beta_{2}$ e $\beta_{3}$.
Sapendo che $\beta$ è il vettore dei parametri, la matrice $R$ è
$R=[0\ 0\ 1\ 1]$
mentre
$r=1$
Quindi $R\beta=r$ esprime proprio il tuo vincolo.
Se ne hai più di uno, basta che ragioni nello stesso modo: ogni riga ti rappresenta un vincolo.
Prova a vedere il tuo esempio, se hai problemi ti aiuto.
Ciao
Facciamo un esempio che si capisce meglio. Supponi di avere il modello
$Y_{i}=\beta_{0}+\beta_{1}X_{i1}+\beta_{2}X_{i2}+\beta_{3}X_{i3}+u_{i}$
dove $i=1,...,n$.
Supponi di voler imporre il seguente vincolo: $\beta_{2}+\beta_{3}=1$. Nella matrice $R$ metti coefficienti dei parametri, nell'ordine in cui questi stanno nel vettore $\beta$, che compaiono nel vincolo e questi sono: $0$ per $\beta_{0}$ e $\beta_{1}$; $1$ per $\beta_{2}$ e $\beta_{3}$.
Sapendo che $\beta$ è il vettore dei parametri, la matrice $R$ è
$R=[0\ 0\ 1\ 1]$
mentre
$r=1$
Quindi $R\beta=r$ esprime proprio il tuo vincolo.
Se ne hai più di uno, basta che ragioni nello stesso modo: ogni riga ti rappresenta un vincolo.
Prova a vedere il tuo esempio, se hai problemi ti aiuto.
Ciao
non so se ho capito bene..ma quindi nel mio caso R allora è R= [1 b2 -1 5 1] non capisco che valore dare a beta 2....ma comunque non ho capito nel tuo esempio se do a beta 2 e beta 3 il valore 1 come è possibile che la loro somma dia 2? ...mi sa che ho una confusione enorme in testa..
Ragioniamo prendendo in esame il tuo esempio.
Hai 5 regressori e 3 vincoli, quindi $R$ è una matrice $3\times5$. Il tuo primo vincolo è
$\beta_{1}-\beta_{3}=0$
La prima riga di $R$ sarà quindi
$1\ 0\ -1\ 0\ 0$
perché gli unici coefficienti non nulli sono quelli relativi a $\beta_{1}$ e $\beta_{3}$.
Il secondo vincolo è
$\beta_{1}+3\beta_{2}=0$
quindi la seconda riga di $R$ sarà
$1\ 3\ 0\ 0\ 0\ $
perché gli unici coefficienti non nulli sono quelli di $\beta_{1}$ e $\beta_{3}$.
L'ultimo vincolo è
$\beta_{4}-4\beta_{5}=0$
quindi la terza riga di $R$ sarà
$0\ 0\ 0\ 1\ -4$
per un discorso analogo ai casi precedenti.
Ti manca da determinare il vettore $r$: questo è semplicemente costituito da tutti 0.
In conclusione hai che
$R=((1, 0, -1, 0, 0),(1, 3, 0, 0, 0),(0,0,0,1,-4)) $
$r=((0),(0),(0))$
Ora se fai $R\beta=r$ avrai proprio i vincoli del tuo modello in quanto
$R\beta=((1, 0, -1, 0, 0),(1, 3, 0, 0, 0),(0,0,0,1,-4))*((\beta_{1}),(\beta_{2}),(\beta_{3}),(\beta_{4}),(\beta_{5}))=((\beta_{1}-\beta_{3}),(\beta_{1}+3\beta_{2}),(\beta_{4}+4\beta_{5}))$
per cui
$((\beta_{1}-\beta_{3}),(\beta_{1}+3\beta_{2}),(\beta_{4}+4\beta_{5}))=((0),(0),(0))$
In sostanza hai messo in forma matriciale i vincoli del tuo modello.
Chiaro ora?
Hai 5 regressori e 3 vincoli, quindi $R$ è una matrice $3\times5$. Il tuo primo vincolo è
$\beta_{1}-\beta_{3}=0$
La prima riga di $R$ sarà quindi
$1\ 0\ -1\ 0\ 0$
perché gli unici coefficienti non nulli sono quelli relativi a $\beta_{1}$ e $\beta_{3}$.
Il secondo vincolo è
$\beta_{1}+3\beta_{2}=0$
quindi la seconda riga di $R$ sarà
$1\ 3\ 0\ 0\ 0\ $
perché gli unici coefficienti non nulli sono quelli di $\beta_{1}$ e $\beta_{3}$.
L'ultimo vincolo è
$\beta_{4}-4\beta_{5}=0$
quindi la terza riga di $R$ sarà
$0\ 0\ 0\ 1\ -4$
per un discorso analogo ai casi precedenti.
Ti manca da determinare il vettore $r$: questo è semplicemente costituito da tutti 0.
In conclusione hai che
$R=((1, 0, -1, 0, 0),(1, 3, 0, 0, 0),(0,0,0,1,-4)) $
$r=((0),(0),(0))$
Ora se fai $R\beta=r$ avrai proprio i vincoli del tuo modello in quanto
$R\beta=((1, 0, -1, 0, 0),(1, 3, 0, 0, 0),(0,0,0,1,-4))*((\beta_{1}),(\beta_{2}),(\beta_{3}),(\beta_{4}),(\beta_{5}))=((\beta_{1}-\beta_{3}),(\beta_{1}+3\beta_{2}),(\beta_{4}+4\beta_{5}))$
per cui
$((\beta_{1}-\beta_{3}),(\beta_{1}+3\beta_{2}),(\beta_{4}+4\beta_{5}))=((0),(0),(0))$
In sostanza hai messo in forma matriciale i vincoli del tuo modello.
Chiaro ora?
Un sacco chiaro!!!davvero!!cavolo grazie mille!!!! purtroppo l'esame l'ho fatto martedi e ho preso 14 
ora devo fare l'orale ma non so quando però mi sa che queste cose mi serviranno per quando dovrò farlo a dicembre (anche se spero di avere fortuna all'orale magari mi chiede le cose che non ho fatto nel compito, a proposito se più avanti riesco a far mente locale e mi viene in mente quello che non ho saputo nel compito posso chiederti?una mi pare riguardi i test di bonta di adattamento e un altra riguarda il discutere dei valori di significatività attraverso test specifici che sarebbero test F e test t )
ora devo fare l'orale ma non so quando però mi sa che queste cose mi serviranno per quando dovrò farlo a dicembre (anche se spero di avere fortuna all'orale magari mi chiede le cose che non ho fatto nel compito, a proposito se più avanti riesco a far mente locale e mi viene in mente quello che non ho saputo nel compito posso chiederti?una mi pare riguardi i test di bonta di adattamento e un altra riguarda il discutere dei valori di significatività attraverso test specifici che sarebbero test F e test t )
Certo che puoi chiedere, ci mancherebbe.
Ciao e buona econometria
Ciao e buona econometria
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