Consiglio per tesi matematica applicata.
Salve a tutti,
sono uno studente di Economia, nel corso degli studi ho scoperto un interesse per la matematica e per questo mi sto accingendo a iniziare la mia tesi di laurea magistrale in "matematica per la applicazioni economiche". La scaletta è ancora tutta da definire, ma il macro-argomento che andrò a approfondire è l'ottimizzazione dinamica ( in tempo continuo) applicata a problemi di portafoglio. Mi chiedevo se qualcuno sapesse consigliarmi alcuni testi che possano costituire un riferimento per l'aspetto più puramente matematico.
mi interesserebbero principalmente testi riguardanti : equazioni alle derivate parziali, ottimizzazione tempo continuo, controllo ottimo.
I testi di derivati o finanza matematica mi danno l'impressione un impressione del tipo:" si dai, tanto la teoria non ti serve a nulla, impara questa formula bla bla bla". Questo approccio non mi piace, vorrei capirci qualcosa di più pre intenderci, anche solo per sana curiosità.
p.s. Se qualcuno conoscesse qualche testo sull'argomento con applicazioni in "Mathematica" ( wolfram) sarebbe fantastico.
ringrazio anticipatamente
sono uno studente di Economia, nel corso degli studi ho scoperto un interesse per la matematica e per questo mi sto accingendo a iniziare la mia tesi di laurea magistrale in "matematica per la applicazioni economiche". La scaletta è ancora tutta da definire, ma il macro-argomento che andrò a approfondire è l'ottimizzazione dinamica ( in tempo continuo) applicata a problemi di portafoglio. Mi chiedevo se qualcuno sapesse consigliarmi alcuni testi che possano costituire un riferimento per l'aspetto più puramente matematico.
mi interesserebbero principalmente testi riguardanti : equazioni alle derivate parziali, ottimizzazione tempo continuo, controllo ottimo.
I testi di derivati o finanza matematica mi danno l'impressione un impressione del tipo:" si dai, tanto la teoria non ti serve a nulla, impara questa formula bla bla bla". Questo approccio non mi piace, vorrei capirci qualcosa di più pre intenderci, anche solo per sana curiosità.
p.s. Se qualcuno conoscesse qualche testo sull'argomento con applicazioni in "Mathematica" ( wolfram) sarebbe fantastico.
ringrazio anticipatamente
Risposte
Ciao,
sono anche io uno studente laureando in Economia e Finanza. Quali problemi di portafoglio ti interesserebbero particolarmente?
sono anche io uno studente laureando in Economia e Finanza. Quali problemi di portafoglio ti interesserebbero particolarmente?
scusa per il ritardo nella risposta, non so neppure se la leggerai mai oramai!
comunque il paper con il quale ho iniziato a lavorare è Kim-Omberg 1996 ( Dynamic Nonmyopic portfolio behavior)
il prof. mi ha chiesto di provare a confrontare la soluzione chiusa esposta nel paper con la soluzione numerica che mathematatica dovrebbe essere in grado di ottenere. Purtroppo è più facile a dirsi che a farsi!
comunque il paper con il quale ho iniziato a lavorare è Kim-Omberg 1996 ( Dynamic Nonmyopic portfolio behavior)
il prof. mi ha chiesto di provare a confrontare la soluzione chiusa esposta nel paper con la soluzione numerica che mathematatica dovrebbe essere in grado di ottenere. Purtroppo è più facile a dirsi che a farsi!
Ho dato una letta a paper. Non conosco Mathematica (uso R o Matlab).
L'argomento sembra interessante e, come avrai potuto notare, non hai (abbiamo), dato il corso di laurea in economia, le basi matematiche per comprendere fino in fondo tutti gli aspetti. Essondomi trovato nella tua stessa posizione ti consiglio innanzitutto di prendere un libro di analisi (vero e serio...non quelle robe che propinano ad economia...) e andarti a studiare argomenti come: equazioni differenziali, equazioni alle derivate parziali e ottimizzazione. Se vuoi ti consiglio quello che ho usato io; secondo me è molto chiaro e molto vasto (sicuramente lo puoi trovare in biblioteca):
"Pagani, Salsa . Analisi matematica 1 e 2"
Poi avrai bisogno di un approccio serio alla statistica e alla probabilità. Ti consiglio
"Piccolo. Statistica" (attento che non è "Statistica per le decisioni").
"Hwei. Probabilità, variabili casuali e processi stocastici"
Infine hai bisogno di approfondire il calcolo stocastico (equazioni alle derivate parziali stocastiche, moto browniano geometrico, lemma di Ito, ecc...)
"Baldi. Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni"
"Castellani, De Felice, Moriconi. Manuale di finanza (volume 2 e 3)"
Infine, ma non so se lo trovi, molto buono (il quale però presuppone che tu abbia conoscenza, almeno sommaria, di quanto sopra) è:
"Barrucci, Marsala, Nencini, Sgarra. Ingegneria finanziaria".
Inoltre, se vuoi, se mi dai il tuo indirizzo di posta elettronica, posso mandarti qualche dispensa (seria ed utile) sui vari argomenti.
Hope this help!
L'argomento sembra interessante e, come avrai potuto notare, non hai (abbiamo), dato il corso di laurea in economia, le basi matematiche per comprendere fino in fondo tutti gli aspetti. Essondomi trovato nella tua stessa posizione ti consiglio innanzitutto di prendere un libro di analisi (vero e serio...non quelle robe che propinano ad economia...) e andarti a studiare argomenti come: equazioni differenziali, equazioni alle derivate parziali e ottimizzazione. Se vuoi ti consiglio quello che ho usato io; secondo me è molto chiaro e molto vasto (sicuramente lo puoi trovare in biblioteca):
"Pagani, Salsa . Analisi matematica 1 e 2"
Poi avrai bisogno di un approccio serio alla statistica e alla probabilità. Ti consiglio
"Piccolo. Statistica" (attento che non è "Statistica per le decisioni").
"Hwei. Probabilità, variabili casuali e processi stocastici"
Infine hai bisogno di approfondire il calcolo stocastico (equazioni alle derivate parziali stocastiche, moto browniano geometrico, lemma di Ito, ecc...)
"Baldi. Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni"
"Castellani, De Felice, Moriconi. Manuale di finanza (volume 2 e 3)"
Infine, ma non so se lo trovi, molto buono (il quale però presuppone che tu abbia conoscenza, almeno sommaria, di quanto sopra) è:
"Barrucci, Marsala, Nencini, Sgarra. Ingegneria finanziaria".
Inoltre, se vuoi, se mi dai il tuo indirizzo di posta elettronica, posso mandarti qualche dispensa (seria ed utile) sui vari argomenti.
Hope this help!
hope this help?! io dico che è fantastico! Non tanto per le indicazioni bibliografiche - delle quali per altro di ringrazio molto-, ma per il fatto di aver trovato qualcuno con cui confrontarsi! Giusto per darti un idea: hai ragione a dire che non ho (abbiamo, a usare il "noi" ci si sente meno soli!) basi matematiche sufficienti, ma da quel punto di vista sono ben disposto a studiare e approfondire. Cosa che ho già fatto e sto facendo - il libro(i) di Analisi di Pagani/Salsa sono già sul comodino. Ho anche il testo sulle equazioni alle derivate parziali sempre di Salsa, oltre che "Modelli dinamici e controllo ottimo". La mia idea è quella di corredare la mia tesi con un (estremamente) sintetica appendice che tocchi gli argomenti che mi sono capitati sotto gli occhi.
in ogni caso questo è il mio indirizzo Riccardoipod@yahoo.it per te e per chiunque abbia qualcosa da dire a riguardo.
p.s. Scendendo nello specifico, mi sto occupando di confrontare graficamente la soluzione chiusa proposta dal paper con la soluzione numerica che mathematica dovrebbe essere in grado di ottenere- soluzione all'equazione alle derivate parziali presente che l'autore deriva dalle condizioni di programmazione dinamica (se vuoi posso scrivertela qui per esteso!). Pensi che con Matlab/R si possano fare cose del genere? ( a proposito, chiunque sia incuriosito me lo dica!)
grazie!!
in ogni caso questo è il mio indirizzo Riccardoipod@yahoo.it per te e per chiunque abbia qualcosa da dire a riguardo.
p.s. Scendendo nello specifico, mi sto occupando di confrontare graficamente la soluzione chiusa proposta dal paper con la soluzione numerica che mathematica dovrebbe essere in grado di ottenere- soluzione all'equazione alle derivate parziali presente che l'autore deriva dalle condizioni di programmazione dinamica (se vuoi posso scrivertela qui per esteso!). Pensi che con Matlab/R si possano fare cose del genere? ( a proposito, chiunque sia incuriosito me lo dica!)
grazie!!
grazie! qualsiasi segnalazione è gradita!
in ogni caso appena ho un secondo di tempo posterò qui l'equazione ( 'monstre' ...ai miei occhi ovviamente :S ) che sto cercando di risolvere.
in ogni caso appena ho un secondo di tempo posterò qui l'equazione ( 'monstre' ...ai miei occhi ovviamente :S ) che sto cercando di risolvere.
$ y(w,x,\tau) $ investimento ottimo nell'asset rischioso
$ J(w,x,\tau) $ utilità attesa da massimizzare
x è il cosiddetto "sharpe ratio" la cui dinamica è $ dx=-\lambda(x-\bar{x})dt+sdZ $ con Z brownian motion con valore atteso nullo. $ sigma $ è la variabilità della ricchezza w. $ \bar{x} $ è una costante positiva.
l'autore deriva dalle condizioni di programmazioni dinamica ( che lui classifica come "standard"):
$ y(w,x,\tau) $= $ (J_w/-J_{ww})(x/\sigma)+(J_{wx}/-J_{ww})(\rhos/\sigma) $ (1) e la PDE (equazione HJB):
$ -J_\tau+J_wrw-1/2J_{ww}y\sigma^2-J_xlambda(x-\bar{x})+1/2J_{x x}s^2=0 $ (2)
sostituendo (1) in (2), ipotizzando che $ J(w,x,\tau) $= $ \phi(x,\tau)*U(w) $ e assumendo una funzione d'utilità CRRA del tipo $ U(w)=w^{1-\gamma}/(1-\gamma) $, ho derivato la seguente equazione nelle sole due variabili x e $ tau $ :
$ 1/2\phi_{x x}+(1-\gamma)\phir-\phi_x\lambda(x-\bar{x})-\phi_tau+(1-\gamma)/\gamma(\phi_x+\phi_x\rhos)^2=0 $
questa è l'equazione che devo risolvere numericamente con Mathematica sapendo solo che: $ \phi(x,0)=1 $
mancano delle condizioni al bordo? Ebbene sì, ma fino ad ora Mathematica è riuscito a darmi comunque una soluzione e il rispettivo grafico nello spazio (x, $ tau $ ). Quindi l'oggetto in esame è la funzione $ phi $ . la "guess" dell'autore è del tipo $ phi(x,\tau)=exp[A+Bx+Cx^2] $ (non riporto i valori di A, B e C derivati dall'autore per limiti di spazio).
Secondo voi che grafico dovrei aspettarmi di trovare? almeno intuitivamente... ahah
pensare che ci sia qualcuno che si interessi a quanto scritto è un pò una pretesa, ma provare non costa nulla...
$ J(w,x,\tau) $ utilità attesa da massimizzare
x è il cosiddetto "sharpe ratio" la cui dinamica è $ dx=-\lambda(x-\bar{x})dt+sdZ $ con Z brownian motion con valore atteso nullo. $ sigma $ è la variabilità della ricchezza w. $ \bar{x} $ è una costante positiva.
l'autore deriva dalle condizioni di programmazioni dinamica ( che lui classifica come "standard"):
$ y(w,x,\tau) $= $ (J_w/-J_{ww})(x/\sigma)+(J_{wx}/-J_{ww})(\rhos/\sigma) $ (1) e la PDE (equazione HJB):
$ -J_\tau+J_wrw-1/2J_{ww}y\sigma^2-J_xlambda(x-\bar{x})+1/2J_{x x}s^2=0 $ (2)
sostituendo (1) in (2), ipotizzando che $ J(w,x,\tau) $= $ \phi(x,\tau)*U(w) $ e assumendo una funzione d'utilità CRRA del tipo $ U(w)=w^{1-\gamma}/(1-\gamma) $, ho derivato la seguente equazione nelle sole due variabili x e $ tau $ :
$ 1/2\phi_{x x}+(1-\gamma)\phir-\phi_x\lambda(x-\bar{x})-\phi_tau+(1-\gamma)/\gamma(\phi_x+\phi_x\rhos)^2=0 $
questa è l'equazione che devo risolvere numericamente con Mathematica sapendo solo che: $ \phi(x,0)=1 $
mancano delle condizioni al bordo? Ebbene sì, ma fino ad ora Mathematica è riuscito a darmi comunque una soluzione e il rispettivo grafico nello spazio (x, $ tau $ ). Quindi l'oggetto in esame è la funzione $ phi $ . la "guess" dell'autore è del tipo $ phi(x,\tau)=exp[A+Bx+Cx^2] $ (non riporto i valori di A, B e C derivati dall'autore per limiti di spazio).
Secondo voi che grafico dovrei aspettarmi di trovare? almeno intuitivamente... ahah
pensare che ci sia qualcuno che si interessi a quanto scritto è un pò una pretesa, ma provare non costa nulla...
dimenticavo i pedici sono una notazione per "derivata di..." . $ J_x $ derivata di J rispetto a x.
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