Caratterizzazione delle allocazioni di Walras
Se le preferenze di tutti gli agenti sono continue, strettamente convesse, strettamente monotone, se la dotazione iniziale $omega > > 0 $ e $p$ è un prezzo non nullo, $(x_1,x_2,..,x_k)$ un allocazione allora le seguenti affermazioni si equivalgono:
1) $x_i$ è l'elemento massimale per ogni agente nell'insieme di bilancio $B_i(p)$
2) il prezzo $p$ è strettamente positivo e vale $y >-_i x_i rightarrow p y > p omega_i$
3) $y >-_i x_i Rightarrow p y > p omega_i$
4) $y >-=_i x_i Rightarrow p y >= p omega_i$
1) $Rightarrow$ 2) perché $B_i(p)$ ammette massimo se e solo se è compatto, ed è compatto solo se il prezzo è strettamente positivo
2) $Rightarrow$ 3) ovvia
3) $Rightarrow$ 4) si verifica sfruttando la stretta monotonia
Fin qui tutto chiaro, ma l'ultima implicazione mette troppa carne a cuocere e non ho ben capito il ragionamento
4) $Rightarrow$ 1)
La riflessività delle preferenze (??) e l'ipotesi 4) assicurano che risulta $p x_i >= p omega_i$ (??)
Ma $(x_1,...,x_k)$ è un'allocazione quindi si ha che $p x_i=p omega_i$ (ok)
Dunque il prezzo $p$ supporta l'allocazione $(x_1,...,x_k)$ e la monotonia delle preferenze assicura che $p>0$ (perché??)
L'ipotesi che $omega>>0$ assicura che esiste almeno un indice $i$ per cui $p omega_i >0$
Verifichiamo che per un tatle agente $x_i$ è massimale $ B_i(p)$
supponiamo che $yin B_i(p) : y>-_i x_i$
Il fatto che l'insieme ${z in R_+^l : z>-_i x_i}$ è aperto ( per la definizione di continuità?) assicura l'esistenza
$EE tin ]0,1[ : ty>-_i x_i$
Dunque $ p (ty) >= p omega_i>0$ e $p y > p (ty) >= p omega_i$
Il che è impossibile perché $yin B_i(p)$ allora $x_i$ è massimale in $B_i(p)$ che implica che $p$ è strettamente positivo, dunque ogni $x_i$ è massimale nel proprio insieme di bilancio.
Se avete un testo da consigliarmi va bene uguale
1) $x_i$ è l'elemento massimale per ogni agente nell'insieme di bilancio $B_i(p)$
2) il prezzo $p$ è strettamente positivo e vale $y >-_i x_i rightarrow p y > p omega_i$
3) $y >-_i x_i Rightarrow p y > p omega_i$
4) $y >-=_i x_i Rightarrow p y >= p omega_i$
1) $Rightarrow$ 2) perché $B_i(p)$ ammette massimo se e solo se è compatto, ed è compatto solo se il prezzo è strettamente positivo
2) $Rightarrow$ 3) ovvia
3) $Rightarrow$ 4) si verifica sfruttando la stretta monotonia
Fin qui tutto chiaro, ma l'ultima implicazione mette troppa carne a cuocere e non ho ben capito il ragionamento
4) $Rightarrow$ 1)
La riflessività delle preferenze (??) e l'ipotesi 4) assicurano che risulta $p x_i >= p omega_i$ (??)
Ma $(x_1,...,x_k)$ è un'allocazione quindi si ha che $p x_i=p omega_i$ (ok)
Dunque il prezzo $p$ supporta l'allocazione $(x_1,...,x_k)$ e la monotonia delle preferenze assicura che $p>0$ (perché??)
L'ipotesi che $omega>>0$ assicura che esiste almeno un indice $i$ per cui $p omega_i >0$
Verifichiamo che per un tatle agente $x_i$ è massimale $ B_i(p)$
supponiamo che $yin B_i(p) : y>-_i x_i$
Il fatto che l'insieme ${z in R_+^l : z>-_i x_i}$ è aperto ( per la definizione di continuità?) assicura l'esistenza
$EE tin ]0,1[ : ty>-_i x_i$
Dunque $ p (ty) >= p omega_i>0$ e $p y > p (ty) >= p omega_i$
Il che è impossibile perché $yin B_i(p)$ allora $x_i$ è massimale in $B_i(p)$ che implica che $p$ è strettamente positivo, dunque ogni $x_i$ è massimale nel proprio insieme di bilancio.
Se avete un testo da consigliarmi va bene uguale
Risposte
"asabasa":
La riflessività delle preferenze (??) e l'ipotesi 4) assicurano che risulta $p x_i >= p omega_i$ (??)
ok qui è perchè
$x_i>-=x_i$ e quindi segue $p x_i >= p omega_i$
La bibbia per la microeconomia a livello avanzato è Mas Colell-"Microeconomics", è un bel mattone, ma c'è tutto a livello matematico formale, dovresti trovare risposta al tuo problema.
Grazie, in realtà lo sto già consultando 
EDIT
"asabasa":
Dunque il prezzo $p$ supporta l'allocazione $(x_1,...,x_k)$ e la monotonia delle preferenze assicura che $p>0$ (perché??)
Ha qualcosa a che fare con la scatola di Edgeworth e il fatto che prezzi vengono rappresentati mediante una retta, vincolo di bilancio, (che viene sempre rappresentata con pendenza negativa)
"asabasa":
Dunque il prezzo $p$ supporta l'allocazione $(x_1,...,x_k)$ e la monotonia delle preferenze assicura che $p>0$ (perché??)
Partendo da qui
4) $y >-=_i x_i Rightarrow p y >= p omega_i$
$Rightarrow$
1) $x_i$ è l'elemento massimale per ogni agente nell'insieme di bilancio $B_i(p)$
Siano $x>= 0$ e $>-=_1$ monotona
Per la monotonia di $>-=_1$ abbiamo che $x + x_1 >-= x_1$
allora $p x + p x_1 = p (x + x_1)>= p w_1$
Abbiamo che $x_1>-=x_1$ implica che $p x_1 >= p omega_1$
Ma $(x_1,...,x_k)$ è un'allocazione quindi si ha che
$sum_i x_i=sum_i omega_i$
$sum_ip x_i=sum_ip omega_i$ quindi per ogni $i$ abbiamo che $p x_i= p w_i$, da cui:
$ p x_1= p w_1$ segue che $p x>=0$
$p>=0$
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