Volume solido coordinate polari
Salve,
sono nuova del forum e non riesco a risolvere questo problema.
Determinare il volume del solido definito dalle seguenti relazioni: rz' con z'=r' cos(\theta').
Io ho provato a considerare un elemento infinitesimo di volume in coordinate polari sferiche ma non riesco a ricavare la coordinata \phi .
Qualcuno potrebbe darmi un'indicazione?
sono nuova del forum e non riesco a risolvere questo problema.
Determinare il volume del solido definito dalle seguenti relazioni: r
Io ho provato a considerare un elemento infinitesimo di volume in coordinate polari sferiche ma non riesco a ricavare la coordinata \phi .
Qualcuno potrebbe darmi un'indicazione?
Risposte
Ciao e benvenuta nel forum! 
Puoi riformattare un po' meglio le formule per rendere la domanda più comprensibile?
Da quello che sono riuscita a capire direi che tu devi utilizzare la formula per il calcolo del volume dell'insieme
$\mathcal{V}={(\rho,\theta,z)|\rho < \tilde{\rho}; \theta < \tilde(\theta); z <\tilde(z) }$
Sapendo che $\tilde(z)=\rho \cos(\theta).$
(Fin qui spero di non aver fatto errori di interpretazione: i maggioranti che tu hai scritto con gli apici e io ho riscritto con le tilde le ho interpretati come costanti. Ne consegue che $\tilde(z)=\rho \cos(\theta)$ e non $\tilde(z)=\tilde{\rho} \cos(\tilde{\theta})$. Inoltre volevo chiarire se tu sei sicura che il testo del problema scriva proprio esplicitamente:
non mi ritrovo tanto con quel segno di maggiore...)
Se riuscissimo a pervenire a un testo del problema scritto bene poi per trovare la soluzione non dovrebbero esserci grossi problemi. Si tratta infatti di un integrale triplo riconducibile a tre integrali iterati.
Puoi riformattare un po' meglio le formule per rendere la domanda più comprensibile?
Da quello che sono riuscita a capire direi che tu devi utilizzare la formula per il calcolo del volume dell'insieme
$\mathcal{V}={(\rho,\theta,z)|\rho < \tilde{\rho}; \theta < \tilde(\theta); z <\tilde(z) }$
Sapendo che $\tilde(z)=\rho \cos(\theta).$
(Fin qui spero di non aver fatto errori di interpretazione: i maggioranti che tu hai scritto con gli apici e io ho riscritto con le tilde le ho interpretati come costanti. Ne consegue che $\tilde(z)=\rho \cos(\theta)$ e non $\tilde(z)=\tilde{\rho} \cos(\tilde{\theta})$. Inoltre volevo chiarire se tu sei sicura che il testo del problema scriva proprio esplicitamente:
"Leila_La":?
z>z' con z'=r' cos(\theta')
non mi ritrovo tanto con quel segno di maggiore...)
Se riuscissimo a pervenire a un testo del problema scritto bene poi per trovare la soluzione non dovrebbero esserci grossi problemi. Si tratta infatti di un integrale triplo riconducibile a tre integrali iterati.
Ciao,
grazie per esserti interessata al mio problema.
Mi scuso per essere stata poco chiara nello scrivere il testo.Ora cerco di rimediare.
Si consideri il solido definito dalle seguenti relazioni:
$ r< tilde(r) ; vartheta < tilde(vartheta ) ; z> tilde(z) $ con $ tilde(r) =24.5 cm $ $ tilde(vartheta ) =0.308 rad $ e $ tilde(z) =tilde(r) cos (tilde(vartheta ) ). $ . Determinare il volume del solido in m3.
grazie per esserti interessata al mio problema.
Mi scuso per essere stata poco chiara nello scrivere il testo.Ora cerco di rimediare.
Si consideri il solido definito dalle seguenti relazioni:
$ r< tilde(r) ; vartheta < tilde(vartheta ) ; z> tilde(z) $ con $ tilde(r) =24.5 cm $ $ tilde(vartheta ) =0.308 rad $ e $ tilde(z) =tilde(r) cos (tilde(vartheta ) ). $ . Determinare il volume del solido in m3.
Avevo dimenticato di specificare che con $ r $ si intende la distanza dall'origine O in un sistema di coordinate polari sferiche,
$ vartheta $ è l'angolo polare nello stesso sistema mentre $ z $ rappresenta la quota in un sistema di coordinate polari cilindriche. Avendo due sistemi di coordinate diversi sono cosi associati: le origini coincidenti, gli assi polari coincidenti tra loro e con l'asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse $ x> 0 $ .
$ vartheta $ è l'angolo polare nello stesso sistema mentre $ z $ rappresenta la quota in un sistema di coordinate polari cilindriche. Avendo due sistemi di coordinate diversi sono cosi associati: le origini coincidenti, gli assi polari coincidenti tra loro e con l'asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse $ x> 0 $ .
"Leila_La":
Avevo dimenticato di specificare che con $ r $ si intende la distanza dall'origine O in un sistema di coordinate polari sferiche,
$ vartheta $ è l'angolo polare nello stesso sistema mentre $ z $ rappresenta la quota in un sistema di coordinate polari cilindriche. Avendo due sistemi di coordinate diversi sono cosi associati: le origini coincidenti, gli assi polari coincidenti tra loro e con l'asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse $ x> 0 $ .
Ora bisogna fare un integrale in coordinate cilindriche (quindi il differenziale $dxdydz$ diventa ovviamente $\rho d\rho d\theta dz$) del dominio di integrazione (che è sostanzialmente quello che hai scritto tu):
quindi $\int_0^\theta\int_0^\rho\int_0^{\rho \cos \theta}\rho dz d\rho d\theta $ andando a scrivere correttamente gli estremi di integrazione.
Quindi la soluzione è data dal valore del seguente integrale: $ int_(0)^(r0) int_(0)^(vartheta0 ) r^2 sin^2(vartheta )cos(vartheta )dr dvartheta $
perchè sfrutto la relazione che $ rho =rsin(vartheta ) $ .
Oppure sto sbagliando ragionamento?
perchè sfrutto la relazione che $ rho =rsin(vartheta ) $ .
Oppure sto sbagliando ragionamento?
"Leila_La":
Quindi la soluzione è data dal valore del seguente integrale: $ int_(0)^(r0) int_(0)^(vartheta0 ) r^2 sin^2(vartheta )cos(vartheta )dr dvartheta $
perchè sfrutto la relazione che $ rho =rsin(vartheta ) $ .
Oppure sto sbagliando ragionamento?
Mi sembra sostanzialmente corretto...
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