Vettore di Poynting

[Demostene92]

Buongiorno, vi scrivo perché non mi torna una relazione del vettore di Poynting.
Esso è definito come: $\bbS(\bbr,t)=\bbE(\bbr,t)xx\bbH(\bbr,t)$. Quello che non mi torna è praticamente l'equivalente in regime sinusoidale, cioè:

$\bbS(\bbr,t)=\bbE(\bbr,t)xx\bbH(\bbr,t)->\bbS(\bbr)=1/2\bbE(\bbr)xx\bbHtext{*}(\bbr)$,

dove $\bbHtext{*}(\bbr)$ è il complesso coniugato di $\bbH(\bbr)$.

Innanzitutto, essendo il campo elettrico $\bbE$ polarizzato lungo $\bbe_1$ e il campo magnetico $\bbH$, lungo $\bbe_2$, segue naturalmente che il vettore di Poynting $\bbS$ ha componente lungo $\bbe_3$. In particolare supponendo quindi che $\bbE(\bbr,t)=E_1*\bbe_1$ e che $\bbH(\bbr,t)=H_2*\bbe_2$, sviluppando il prodotto vettoriale:

$\bbS(\bbr,t)=|(\bbe_1,\bbe_2,\bbe_3), (E_1,0,0), (0,H_2,0)|=E_1H_2*\bbe_3$.

Poniamo per esempio:

$E_1=E_0cos(\omegat+\phi_1)$
$H_2=H_0cos(\omegat+\phi_2)$

e facciamo i conti.

Si ha:

$S_3=E_0H_0cos(\omegat+\phi_1)cos(\omegat+\phi_2)=(E_0H_0)/2{cos(\omegat+\phi_1+\omegat+\phi_2) +cos(\omegat+\phi_1-\omegat-\phi_2}=(E_0H_0)/2{cos(2\omegat+\phi_1+\phi_2)+cos(\phi_1-\phi_2)}$

ma a me non sembra equivalente a $1/2\bbE(\bbr)xx\bbHtext{*}(\bbr)$. Cosa mi sfugge? Grazie

[cyd1]

per una grandezza sinusoidale vale la formula di eulero:
$Acos(omega t - phi) = A dot (e^(i(omega t - phi)) + e^(-i (omega t - phi)) )/2$
applicandola a $E$ e a $H*$:
$barE = E dot (e^(i(omega t - phi_1)) + e^(-i (omega t - phi_1)) )/2$
$barH"*" = H dot (e^(-i(omega t - phi_2)) + e^(i (omega t - phi_2)) )/2$

moltiplichi e viene $vec(E)*vec(H)"*" = 1/4 E H dot ( (e^(i(omega t - phi_1)) + e^(-i (omega t - phi_1)) ) *(e^(-i(omega t - phi_2)) + e^(i (omega t - phi_2)) )) = 1/4 E H ( e^(i(phi_2-phi_1)) + e^(-i(phi_2-phi_1)) + e^(i(2 omega t -phi_2-phi_1)) +e^(-i(2 omega t -phi_2-phi_1)) )$ che coincide con la tua espressione

[Demostene92]

Grazie mille!!

[Demostene92]

No anzi no, c'è un $1/2$ che si è perso!