Valori di regime e risposta a scalino
Buongiorno, volevo chiedere un chiarimento circa un esercizio.
Dato il sistema:
\(\displaystyle x_1'=-0.2x_1+x_2\\x_2'=-0.1x_2+0.01u\\y=x_1 \), vengono poste le seguenti domande:
1. valore a regime di \(\displaystyle y(t) \) quando \(\displaystyle u=sca(t) \)
2. nel dominio del tempo, si determini la funzione \(\displaystyle y(t) \) in risposta a \(\displaystyle u=sca(t) \), con stato iniziale nullo
Ho pensato di risolvere così:
1. calcolo le due costanti di tempo (10 e 5), ricavo il modo dominante \(\displaystyle e^{-10t} \). Mandando t a infinito, ottengo il valore a regime \(\displaystyle y(\infty)=0 \)
2. calcolo la trasformata di Laplace, antitrasformo e ottengo la funzione \(\displaystyle y(t)=10e^{-0.2t}-10e^{-0.1t} \)
I procedimenti potrebbero essere corretti?
Dato il sistema:
\(\displaystyle x_1'=-0.2x_1+x_2\\x_2'=-0.1x_2+0.01u\\y=x_1 \), vengono poste le seguenti domande:
1. valore a regime di \(\displaystyle y(t) \) quando \(\displaystyle u=sca(t) \)
2. nel dominio del tempo, si determini la funzione \(\displaystyle y(t) \) in risposta a \(\displaystyle u=sca(t) \), con stato iniziale nullo
Ho pensato di risolvere così:
1. calcolo le due costanti di tempo (10 e 5), ricavo il modo dominante \(\displaystyle e^{-10t} \). Mandando t a infinito, ottengo il valore a regime \(\displaystyle y(\infty)=0 \)
2. calcolo la trasformata di Laplace, antitrasformo e ottengo la funzione \(\displaystyle y(t)=10e^{-0.2t}-10e^{-0.1t} \)
I procedimenti potrebbero essere corretti?
Risposte
Siccome gli autovalori sono -0.2 e -0.1 il sistema è asintoticamente stabile e quindi la risposta particolare costante alla forzante costante corrisponde al valore di regime e quindi può essere determinata imponendo derivata nulla ovvero:
$0 = -0.2 x_1(infty) + x_2(infty)$
$0 = -0.1 x_2(infty) + 0.01$
Quindi a regime
$y(infty) = x_1(infty) = 0.5$
$x_2(infty) = 0.1$
Per la seconda domanda è ovvio quindi che la risposta y(t) non è quella che hai determinato. Prova a rivedere il calcolo, tenendo conto del risultato sopra.
$0 = -0.2 x_1(infty) + x_2(infty)$
$0 = -0.1 x_2(infty) + 0.01$
Quindi a regime
$y(infty) = x_1(infty) = 0.5$
$x_2(infty) = 0.1$
Per la seconda domanda è ovvio quindi che la risposta y(t) non è quella che hai determinato. Prova a rivedere il calcolo, tenendo conto del risultato sopra.
Ti ringrazio per il primo punto. Ma gli autovalori non sono -0.2 e -0.1?
Per il secondo punto avrei y(t)=0,5+u(t)?
Per il secondo punto avrei y(t)=0,5+u(t)?
Si gli autovalori sono -0.2 e -0.1 (in una prima versione mi era scappato uno zero di troppo sullo 0.2 ma poi rivedendo ho corretto).
Per il secondo punto il calcolo con Laplace va fatto così con l'ingresso scalino unitario.
$s X_1 - X_1(0)= -0.2 X_1 + X_2$
$s X_2 - X_2(0) = -0.1 X_2 + 0.01/s$
Tenendo conto che lo stato iniziale è nullo, si ottiene:
$X_2(s) = 0.01/(s*(s+0.1))$
$Y(s) =X_1(s) = 0.01/(s*(s+0.1)(s+0.2))=0.5/s - 1/(s+0.1)+0.5/(s+0.2)$
$y(t) = (0.5 - e^(-0.1t) +0.5 e^(-0.2t)) sca(t)$
Correttamente il valore di y è nullo a t=0 e 0.5 all'infinito.
Per il secondo punto il calcolo con Laplace va fatto così con l'ingresso scalino unitario.
$s X_1 - X_1(0)= -0.2 X_1 + X_2$
$s X_2 - X_2(0) = -0.1 X_2 + 0.01/s$
Tenendo conto che lo stato iniziale è nullo, si ottiene:
$X_2(s) = 0.01/(s*(s+0.1))$
$Y(s) =X_1(s) = 0.01/(s*(s+0.1)(s+0.2))=0.5/s - 1/(s+0.1)+0.5/(s+0.2)$
$y(t) = (0.5 - e^(-0.1t) +0.5 e^(-0.2t)) sca(t)$
Correttamente il valore di y è nullo a t=0 e 0.5 all'infinito.
Grazie mille, in effetti hai ragione! Ti posso allora chiedere come mai la funzione di trasferimento calcolata con c*(sI-A)^(-1)*b era sbagliata? Cioè, in pratica quindi quando ho una forzante u, devo trasformare con la formula che ha scritto?
La formula è giusta ma ci manca la "u". Risulta formalmente nel caso di:
a) un solo ingresso
b) stato zero
c) D =0
$sX = A*X+B*u$
$Y = C*X$
da cui:
$Y = C*(sI-A)^(-1)*B*u=((1,0))*((s+0.2, -1), (0, s+0.1))^(-1)*((0),(0.01))*1/s=$
$=((1,0))*((1/(s+0.2), 1/((s+0.1)(s+0.2))), (0, 1/(s+0.1)))*((0),(0.01))*1/s$
Da cui svolgendo i conti si riottiene:
$Y(s) = 0.01/(s*(s+0.1)*(s+0.2))$
a) un solo ingresso
b) stato zero
c) D =0
$sX = A*X+B*u$
$Y = C*X$
da cui:
$Y = C*(sI-A)^(-1)*B*u=((1,0))*((s+0.2, -1), (0, s+0.1))^(-1)*((0),(0.01))*1/s=$
$=((1,0))*((1/(s+0.2), 1/((s+0.1)(s+0.2))), (0, 1/(s+0.1)))*((0),(0.01))*1/s$
Da cui svolgendo i conti si riottiene:
$Y(s) = 0.01/(s*(s+0.1)*(s+0.2))$
Tutto chiaro, grazie mille ancora! 
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