Valore assoluto transformata di Fourier
Ciao ragazzi,
potreste darmi una mano a risolvere il modulo della seguente trasformata di Fourier:
$Y(j\omega)=\frac{\pi}{2} \sum_{l=1}^L \sqrt(g_l) e^{-j \omega \tau_l} [e^{(j \theta_m)} \delta (\omega - 2 \pi (f_c + f_m)) + e^{(-j \theta_m)} \delta (\omega + 2 \pi (f_c+f_m))]$
$\|Y(j \omega)\|$=?
Grazie mille per l' aiuto!
potreste darmi una mano a risolvere il modulo della seguente trasformata di Fourier:
$Y(j\omega)=\frac{\pi}{2} \sum_{l=1}^L \sqrt(g_l) e^{-j \omega \tau_l} [e^{(j \theta_m)} \delta (\omega - 2 \pi (f_c + f_m)) + e^{(-j \theta_m)} \delta (\omega + 2 \pi (f_c+f_m))]$
$\|Y(j \omega)\|$=?
Grazie mille per l' aiuto!
Risposte
Non sembra una cosa così difficile. Tu hai fatto un tentativo?
Ciao Raptorista,
si ho fatto diversi tentativi ma il relatore mi ha detto che non va bene e che devo stare attento al valore assoluto della serie.
Potresti darmi una dritta, per favore?
si ho fatto diversi tentativi ma il relatore mi ha detto che non va bene e che devo stare attento al valore assoluto della serie.
Potresti darmi una dritta, per favore?
La parentesi quadra mi sembra che non dipenda da \(l\), quindi la puoi tirare fuori dalla sommatoria, e vale quasi ovunque zero, perché ci sono due delta. Quando non vale zero ha modulo unitario. Il resto è una somma di numeri complessi, per cui già dovrei declassare la discussione ad analisi di base.
Esatto, il termine tra parentesi non dipende la $l$.
Grazie per la risposta, proverò a risolverlo altrimenti chiederò ad analisi di base.
Grazie per la risposta, proverò a risolverlo altrimenti chiederò ad analisi di base.
Non aprire un'altra discussione, continua a scrivere qui se necessario.
"Raptorista":
La parentesi quadra mi sembra che non dipenda da \(l\), quindi la puoi tirare fuori dalla sommatoria, e vale quasi ovunque zero, perché ci sono due delta. Quando non vale zero ha modulo unitario. Il resto è una somma di numeri complessi, per cui già dovrei declassare la discussione ad analisi di base.
Ciao Raptorista, ho provato a risolvere ed ho ottenuto il seguente risultato:
$ Y(j \omega)= frac{\pi}{2} sum_{l=1}^L sqrt(g_l) [e^(-j( \omega \tau_l - \theta_m)) \delta(\omega - \omega_0) + e^(-j( \omega \tau_l + j \theta_m)) \delta(\omega + \omega_0) ] $
Quindi: $ |Y(j \omega)|= frac{\pi}{2} |sum_{l=1}^L sqrt(g_l) [e^(-j( \omega \tau_l - \theta_m)) \delta(\omega - \omega_0) + e^(-j( \omega \tau_l + j \theta_m)) \delta(\omega + \omega_0) ]| $
A questo punto, mi viene richiesto di calcolare il seguente integrale:
$ \int_0^{\omega_0} |Y(j \omega)|^2 d\omega$.
Ho fatto diversi tentativi, ma il relatore ha detto che sbaglio a calcolare l' integrale (mi ha suggerito che il risultato sarà proporzionale al modulo della somma di esponenziali complessi).
Potresti gentilmente illustrarmi i passaggi logici? Magari mi perdo qualcosa durante i calcoli che dovrei ovviamente considerare.
Grazie mille a chi vorrà aiutarmi!
Su una cosa mi ero sbagliato: questa discussione non va spostata in analisi di base, ma addirittura in ingegneria. Provvedo.
Nella descrizione del problema c'è qualcosa che mi sfugge. Scrivendo per semplicità:
$Y(j \omega)= A* [e^(-j( \omega \tau_l - \theta_m)) \delta(\omega - \omega_0) + e^(-j( \omega \tau_l + \theta_m)) \delta(\omega + \omega_0) ]$
Dove:
$A= frac{\pi}{2} sum_{l=1}^L sqrt(g_l)$ è una costante apparentemente indipendente dalla frequenza.
Si può eseguire il calcolo richiesto considerando che:
$|Y(j \omega)|^2=Y(j \omega)*Y(j \omega)^\star$
Questo comporta, con qualche passaggio matematico:
$|Y(j \omega)|^2= A^2* [delta(\omega - \omega_0) + delta(\omega + \omega_0) ]$
che sembra un risultato in linea con le considerazioni energetiche, ma il cui integrale (per di più fra $0$ e $\omega_0$ ) dà un risultato diverso da quello atteso...
$Y(j \omega)= A* [e^(-j( \omega \tau_l - \theta_m)) \delta(\omega - \omega_0) + e^(-j( \omega \tau_l + \theta_m)) \delta(\omega + \omega_0) ]$
Dove:
$A= frac{\pi}{2} sum_{l=1}^L sqrt(g_l)$ è una costante apparentemente indipendente dalla frequenza.
Si può eseguire il calcolo richiesto considerando che:
$|Y(j \omega)|^2=Y(j \omega)*Y(j \omega)^\star$
Questo comporta, con qualche passaggio matematico:
$|Y(j \omega)|^2= A^2* [delta(\omega - \omega_0) + delta(\omega + \omega_0) ]$
che sembra un risultato in linea con le considerazioni energetiche, ma il cui integrale (per di più fra $0$ e $\omega_0$ ) dà un risultato diverso da quello atteso...
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