Trasmissione del calore, ciclo di carnot e frigorifero

[salviom]

Ciao a tutti . Propongo un esercizio semplice di fisica1 che mi sta creando dei dubbi riferito agli argomenti del titolo.

Una macchina di Carnot opera come macchina frigorifera tra l’internodi un appartamento a temperatura T2 e l’esterno a temperatura T1 > T2. Quando opera in modo continuo assorbe una potenza P dalla rete elettrica. Ogni secondo la macchina assorbe dall’appartamento una quantità di calore paria Q2 e ne trasferisce Q1 verso l’esterno. La dispersione di calore della casa segue la legge di Fourier ∆Q/∆t = B(T1 −T2 ove (B = kA/∆x dove k, A e ∆x sono la conducibilità termica, la superficie e lo spessore del muro)

1.Supponendo che la macchina frigorifera operi in modo continuo e che la temperatura esterna e quella interna siano costanti ed uniformi, trovare la formula per la tempera turainterna T2 in funzione diT2 = f (T1, P, B).

2. La macchina è controllata da un termostato. Se la temperatura esterna è paria 30 oC e il termostato viene regolato a 20 oC, si osserva che il condizionatore rimane acceso solo per il 30% del tempo.Trovare la temperatura esterna massima T1(max) compatibile con una temperatura interna T2 = 20C.

3. D’inverno il dispositivo viene utilizzato come pompa di calore trasferendo calore dall’ambiente esterno all’interno dell’appartamento. Trovare la temperatura esterna T1 minima compatibile con una Temperatura interna costante di 20 oC

Gracias

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda il punto 1, intanto:

$[Q_1/T_1=Q_2/T_2] rarr [P_1/T_1=P_2/T_2] rarr [(P_2+P)/T_1=P_2/T_2] rarr [T_2=P_2/(P_2+P)T_1]$

Inoltre:

$[P_2=B(T_1-T_2)] rarr [T_2=(B(T_1-T_2))/(B(T_1-T_2)+P)T_1] rarr [B(T_1-T_2)^2-PT_2=0]$

In definitiva, si tratta di risolvere l'equazione di 2° sottostante:

$BT_2^2-(2BT_1+P)T_2+BT_1^2=0$

la cui soluzione accettabile è:

$T_2=T_1-(sqrt(P(P+4BT_1))-P)/(2B)$

Tra l'altro, poiché la tua soluzione è maggiore di $T_1$, le tue argomentazioni non potevano in alcun modo essere corrette.

[salviom]

Ho rifatto i calcoli, e avevo sbagliato. In realtà pervengo allo stesso risultato ma sono uno stupido che si è incasinato.

Ho capito anche il tuo suggerimento e ti ringrazio assai per la risposta.

Posso chiederti una mano anche per gli altri due punti ora? Siccome peril primo ogni dubbio è fugato

[anonymous_0b37e9]

"salviom":
... si osserva che il condizionatore rimane acceso solo per il 30% del tempo.

Francamente, non ne capisco il senso. A mio parere andava scritto che il condizionatore lavora al 30% della potenza massima. Ad ogni modo, se la mia interpretazione è corretta:

Primo caso

$[B(T_1-T_2)^2-PT_2=0] rarr [P/B=50/3]$

Secondo caso

$[B(T_1-T_2)^2-PT_2=0] rarr [P/B=(T_1-20)^2/20]$

In definitiva:

$[(T_1-20)^2/20=50/3] rarr [T_1=20+10/3sqrt(30)]$

[salviom]

Mi sa che devo chiederti qualche spiegazione in più sul tuo precedente messaggio, non ho ben capito come l'hai impostata la condizione del 30% nelle formule.

[anonymous_0b37e9]

Non hai tutti i torti:

Primo caso

$[B(T_1-T_2)^2-PT_2=0] rarr [B(30-20)^2-30/100P_(max)*20=0] rarr [P_(max)/B=50/3]$

Secondo caso

$[B(T_1-T_2)^2-PT_2=0] rarr [B(T_1-20)^2-P_(max)*20=0] rarr [P_(max)/B=(T_1-20)^2/20]$

[salviom]

Molte, moltissime grazie!