Trasformata zeta di un sottocampionamento.
Salve ragazzi, supponiamo di avere una sequenza $x(n)$ tale che $X(z)$ sia la sua z-trasformata.
Se io da questa sequenza $x(n)$ estraggo una sottosequenza, e nel particolare $x(kn)$ con $k in NN$ esiste una qualke relazione tra la z-trasformata di $x(n)$ e la z-trasformata di $x(kn)$? Io ho provato a vedere se esiste una qualke relazione e ho provato a procedere come segue
Detta $X_k(z)$ la z-trasformata di $x(kn)$ applicando la def. di z-trasformata si ha che:
$X_k(z) = sum_{n=-infty}^{+infty} x(kn)z^{-n}$ Ora se effettuo il cambio di variabile $n' = kn$ ho una sommatoria i cui indici non appartengono più all'insieme $ZZ$ ma ad un suo sottoinsieme, di conseguenza non riesco a calcolare la z trasformata di $x(kn)$ usando la def.
Allora ho pensato di utilizzare la trasformata inversa, tentando di intuire che forma potesse avere l'anti-trasformata, tuttavia non ho idea di che forma abbia la z-trasformata quindi anche questa strada mi è chiusa.
Per cui come fare?
Avete qualche suggerimento?
Se io da questa sequenza $x(n)$ estraggo una sottosequenza, e nel particolare $x(kn)$ con $k in NN$ esiste una qualke relazione tra la z-trasformata di $x(n)$ e la z-trasformata di $x(kn)$? Io ho provato a vedere se esiste una qualke relazione e ho provato a procedere come segue
Detta $X_k(z)$ la z-trasformata di $x(kn)$ applicando la def. di z-trasformata si ha che:
$X_k(z) = sum_{n=-infty}^{+infty} x(kn)z^{-n}$ Ora se effettuo il cambio di variabile $n' = kn$ ho una sommatoria i cui indici non appartengono più all'insieme $ZZ$ ma ad un suo sottoinsieme, di conseguenza non riesco a calcolare la z trasformata di $x(kn)$ usando la def.
Allora ho pensato di utilizzare la trasformata inversa, tentando di intuire che forma potesse avere l'anti-trasformata, tuttavia non ho idea di che forma abbia la z-trasformata quindi anche questa strada mi è chiusa.
Per cui come fare?
Avete qualche suggerimento?
Risposte
Basta notare che negli istanti [tex]i\ne kn[/tex] hai [tex]x(i)=0[/tex], quindi
[tex]$X_k(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(kn)z^{-n}\ne\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(kn)z^{-kn}[/tex].
Edit: vedi sotto, l'uguale diventa un non uguale.
[tex]$X_k(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(kn)z^{-n}\ne\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(kn)z^{-kn}[/tex].
Edit: vedi sotto, l'uguale diventa un non uguale.
In verità sono un pò perplesso... scusa se ho
$X_k(z) = sum_{n=-infty}^{+infty} x(kn)z^{-n} = ... + x(0) + x(k)z^{-1} + x(2k)z^{-2} + ...$
Secondo il tuo ragionamento però
$sum_{n=-infty}^{+infty} x(kn)z^{-n} = sum_{n=-infty}^{+infty} x(kn)z^{-kn} = ... + x(0) + x(k)z^{-k} + x(2k)z^{-2k} + ... $
Il che mi sembra la trasformata di una sequenza diversa da quella di partenza.
O sto sbagliando?
$X_k(z) = sum_{n=-infty}^{+infty} x(kn)z^{-n} = ... + x(0) + x(k)z^{-1} + x(2k)z^{-2} + ...$
Secondo il tuo ragionamento però
$sum_{n=-infty}^{+infty} x(kn)z^{-n} = sum_{n=-infty}^{+infty} x(kn)z^{-kn} = ... + x(0) + x(k)z^{-k} + x(2k)z^{-2k} + ... $
Il che mi sembra la trasformata di una sequenza diversa da quella di partenza.
O sto sbagliando?
Sì, ho interpretato male la tua domanda, pensavo alla trasformata di [tex]$\{x(0),0,0,...,x(k),0,0,...,x(2k),...\}[/tex]
Ad ogni modo, puoi vederla così:
[tex]$X_k(z^k)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(kn)z^{-kn}[/tex], e definendo
[tex]$X_{k,i}(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(kn+i)z^{-n-i/k}[/tex]
hai che
[tex]$\sum_{i=0}^{k-1}X_{k,i}(z^k)=\sum_{i=0}^{k-1}\sum_{n=-\infty}^\infty x(kn+i)z^{-kn-i}=X(z)[/tex].
Non so che tipo di relazione stai cercando, ma puoi ottenere delle proprietà di questo tipo.
[tex]$X_k(z^k)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(kn)z^{-kn}[/tex], e definendo
[tex]$X_{k,i}(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(kn+i)z^{-n-i/k}[/tex]
hai che
[tex]$\sum_{i=0}^{k-1}X_{k,i}(z^k)=\sum_{i=0}^{k-1}\sum_{n=-\infty}^\infty x(kn+i)z^{-kn-i}=X(z)[/tex].
Non so che tipo di relazione stai cercando, ma puoi ottenere delle proprietà di questo tipo.
Purtroppo manco io lo so, perchè il testo da cui ho preso spunto non riporta la soluzione.
Cmq il succo è:
Se hai $x(n)$ con trasformata z $X(z)$ qual'è la trasformata z di $x(kn)$?
Cmq il succo è:
Se hai $x(n)$ con trasformata z $X(z)$ qual'è la trasformata z di $x(kn)$?
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