[Trasformata z] Calcolo ampiezza e fase
Ciao a tutti,
ho un dubbio sul seguente esercizio:
dato il filtro $ H(z)= (1+z^-5)/(1+z^-1) $
Definire l'ampiezza e la fase per le tre frequenze normalizzate: 0, $ 2 pi/5 $ , $ pi $ .
Fin'ora conoscevo solo il metodo grafico per risolvere questo problema, ma credo sia troppo dispendioso avendo 5 zeri ed 1 polo.
Qual'è il metodo giusto da utilizzare in questo caso?
ho un dubbio sul seguente esercizio:
dato il filtro $ H(z)= (1+z^-5)/(1+z^-1) $
Definire l'ampiezza e la fase per le tre frequenze normalizzate: 0, $ 2 pi/5 $ , $ pi $ .
Fin'ora conoscevo solo il metodo grafico per risolvere questo problema, ma credo sia troppo dispendioso avendo 5 zeri ed 1 polo.
Qual'è il metodo giusto da utilizzare in questo caso?
Risposte
puoi passare dalla trasformata discreta di Fourier
$H(\omega)=H(z)|_{z=e^{j\omega}}=(1+e^{-j\omega 5 }) / (1+e^{-j\omega})$
a questo punto per $\omega=0$ hai $H(\omega)=1$ e fase nulla
per $\omega=2/5\pi$ hai $|H(\omega)|=1/cos(pi/5)$ e fase $pi/5$
infine per $\omega=\pi$ hai il modulo che tende ad infinito e fase nulla.
Almeno se non ho sbagliato i conti
$H(\omega)=H(z)|_{z=e^{j\omega}}=(1+e^{-j\omega 5 }) / (1+e^{-j\omega})$
a questo punto per $\omega=0$ hai $H(\omega)=1$ e fase nulla
per $\omega=2/5\pi$ hai $|H(\omega)|=1/cos(pi/5)$ e fase $pi/5$
infine per $\omega=\pi$ hai il modulo che tende ad infinito e fase nulla.
Almeno se non ho sbagliato i conti
Grazie per la risposta!
Scusa ma il moduolo di $ cos(-2/5*pi)+i*sen(-2/5*pi) $ ed il modulo di $ cos(-2*pi)+i*sen(-2*pi) $ non sono uguali a 1??
Come viene fuori $ cos(pi/5) $ ?? E la fase sarebbe $pi/5$ perchè è l'argomento del coseno?
Scusa ma il moduolo di $ cos(-2/5*pi)+i*sen(-2/5*pi) $ ed il modulo di $ cos(-2*pi)+i*sen(-2*pi) $ non sono uguali a 1??
Come viene fuori $ cos(pi/5) $ ?? E la fase sarebbe $pi/5$ perchè è l'argomento del coseno?
"AMs":
infine per $\omega=\pi$ hai il modulo che tende ad infinito e fase nulla.
No, il filtro è a campionamento in frequenza: il polo alla frequenza normalizzata [tex]\pi[/tex] viene cancellato da uno zero nella stessa posizione, infatti gli zeri si trovano alle frequenze [tex]k\frac{2\pi}{5}+\frac{2\pi}{10}[/tex] con [tex]k\in\{0,1,2,3,4\}[/tex].
Questo è un filtro FIR, infatti si ha che:
[tex]$\frac{1+z^{-5}}{1+z^{-1}}=\sum_{i=0}^4 (-1)^iz^{-i}[/tex].
Il valori richiesti alla frequenza [tex]\pi[/tex] si possono calcolare agevolmente sia col metodo grafico che per sostituzione in [tex]z=e^{j\pi}[/tex].
In particolare dovresti trovare all'incirca
[tex]20\cdot\log_{10}|H(e^{j\pi})|\approx 13.98[/tex]
Suppongo che il valore 13.98 in dB sia calcolato per $omega=pi$. Per tale valore di $omega$ i calcoli dovrebbero essere i seguenti:
$|H(omega)|=|1+cos(-5*pi)+i*sen(-5*pi)|/|1+cos(-pi)+i*sen(-pi)| = (root(2)((1+cos(-5*pi))^2+(sin(-5*pi))^2))/(root(2)((1+cos(-pi))^2+(sin(-pi))^2))$
dov'è che sbaglio???
$|H(omega)|=|1+cos(-5*pi)+i*sen(-5*pi)|/|1+cos(-pi)+i*sen(-pi)| = (root(2)((1+cos(-5*pi))^2+(sin(-5*pi))^2))/(root(2)((1+cos(-pi))^2+(sin(-pi))^2))$
dov'è che sbaglio???
ops!..mi sa che è giusto!...poca autofiducia! 
il risultato in db è proprio 13.98 se non sbaglio.
mentre la fase sempre per $omega=pi$ dovrebbe essere:
$arctan((sin(-5*pi))/(1+cos(-5*pi)))-arctan((sin(-pi))/(1+cos(-pi)))=0$
???
il risultato in db è proprio 13.98 se non sbaglio.mentre la fase sempre per $omega=pi$ dovrebbe essere:
$arctan((sin(-5*pi))/(1+cos(-5*pi)))-arctan((sin(-pi))/(1+cos(-pi)))=0$
???
"Luke3":
Grazie per la risposta!
Scusa ma il moduolo di $ cos(-2/5*pi)+i*sen(-2/5*pi) $ ed il modulo di $ cos(-2*pi)+i*sen(-2*pi) $ non sono uguali a 1??
Come viene fuori $ cos(pi/5) $ ?? E la fase sarebbe $pi/5$ perchè è l'argomento del coseno?
Io ho fatto così
$H(\omega)=(1+e^{-j*2*pi})/(1+e^{-j*2/5*pi})=2/(e^(j*pi/5)+e^(-j*pi/5))*e^(j*pi/5)=1/cos(pi/5)*e^(j*pi/5)$
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