Trasformata Fourier di [tex]f\left(t\right)=1[/tex]

[koloko]

Nel filmato
https://www.youtube.com/watch?v=KAbqISZ6SHQ
al minuto 04:38 viene affermato che
[tex]\int_{-\infty}^{\infty}1\cdot e^{-j\varpi t}dt=a\cdot\delta\left(t\right)[/tex]
solamente che non riesco a trovare una dimostrazione online.
Sapreste aiutarmi a riguardo?
Grazie!

[koloko]

Ho aggiornato il messaggio precedente aggiungendo il link al filmato che avevo dimenticato di inserire

[edmz]

Considera la trasformata di Fourier di $x_\Pi(t)=\Pi(t/T)$ e manda $T\to +\infty$. Il limite è da intendere nel senso delle distribuzioni.

In generale per i segnali di potenza puoi sempre considerarne la versione finestrata, trasformarla e mandare la durata della finestra all'infinito.

[koloko]

"edmz":Considera la trasformata di Fourier di $x_\Pi(t)=\Pi(t/T)$ e manda $T\to +\infty$. Il limite è da intendere nel senso delle distribuzioni.

In generale per i segnali di potenza puoi sempre considerarne la versione finestrata, trasformarla e mandare la durata della finestra all'infinito.

Ti ringrazio. In un certo senso, avevo inteso la complessità dei passaggi dal fatto che il professore nel video non aveva spiegato il perché di quel risultato. Tuttavia nutrivo ancora qualche speranza sul fatto che si potesse spiegare in termini tuttosommato semplici

[edmz]

Figurati. No, purtroppo non c'è alcuna semplificazione né può esserci - la $\delta(\cdot)$ è intrinsecamente una stranezza della matematica (lo stesso Dirac fu criticato quando la introdusse), se la misuriamo rispetto alle funzioni normali, cosa che la $\delta$ non è. Tuttavia, nell'Ingegneria i segnali periodici sono importanti, per non parlare della FT, ed abbiamo bisogno di collegare le cose in qualche modo.

Qualche altra parola.

[Flamber]

Per una dimostrazione formale e completa è necessario sostituire lo spazio dei segnali test $D(RR)$ e lo spazio delle distribuzioni $D'(RR)$ con lo spazio di Schwartz $S(RR)$( cioè l'insieme dei segnali a decrescita rapida) e lo spazio delle distribuzioni temperate $S'(RR)$.

Questo procedimento è necessario perchè $f(t)=1$ non è un segnale sommabile su $RR$