Trasformata di Laplace del modulo del seno.
Ciao, l'esercizio che sto provando a svolgere è:
\(\displaystyle f(t) = |\sin(t)| \)
Il grafico della funzione seno è lo stesso della funzione seno ma ribaltato nel semipiano positivo.
Per definizione:
\(\displaystyle |\sin(t)| = \begin{cases}\sin(t) & \mbox{t}\geq 0 \\ -\sin(t) & \mbox{t} < 0 \end{cases} \)
Quindi la scrivo in forma di funzione gradino:
\(\displaystyle f(t) = \sin(t) u(t)+(-\sin(t)(1-u(t))) \)
Ora dovrei svolgere la trasformata di Laplace di \(\displaystyle \sin(t) u(t) \),\(\displaystyle -\sin(t) \) e \(\displaystyle \sin(t) u(t) \)
E poi applicare la formula per trovare la funzione periodica:
\(\displaystyle \frac{F(s)}{1-e^{-sT}} \)
dove \(\displaystyle F(s) \) sono le trasformate calcolate prima e \(\displaystyle T \) è il periodo che in questo caso è \(\displaystyle \pi \)
Però non viene, forse sbaglio metodo. Sapreste consigliarmi?
Ho provato ad usare la definizione di trasformata ma non credo sia la scelta giusta.
Grazie della disponibilità.
\(\displaystyle f(t) = |\sin(t)| \)
Il grafico della funzione seno è lo stesso della funzione seno ma ribaltato nel semipiano positivo.
Per definizione:
\(\displaystyle |\sin(t)| = \begin{cases}\sin(t) & \mbox{t}\geq 0 \\ -\sin(t) & \mbox{t} < 0 \end{cases} \)
Quindi la scrivo in forma di funzione gradino:
\(\displaystyle f(t) = \sin(t) u(t)+(-\sin(t)(1-u(t))) \)
Ora dovrei svolgere la trasformata di Laplace di \(\displaystyle \sin(t) u(t) \),\(\displaystyle -\sin(t) \) e \(\displaystyle \sin(t) u(t) \)
E poi applicare la formula per trovare la funzione periodica:
\(\displaystyle \frac{F(s)}{1-e^{-sT}} \)
dove \(\displaystyle F(s) \) sono le trasformate calcolate prima e \(\displaystyle T \) è il periodo che in questo caso è \(\displaystyle \pi \)
Però non viene, forse sbaglio metodo. Sapreste consigliarmi?
Ho provato ad usare la definizione di trasformata ma non credo sia la scelta giusta.
Grazie della disponibilità.
Risposte
Potresti provare a fare in questo modo: consideri il singolo semiperiodo del seno e lo trasformi secondo Laplace:
$ F(s)=int_(0)^(+oo) f(t)e^(-st) dt= int_(0)^(pi) sin(t)e^(-st) dt=... $
e poi trasli di $kpi$ quello che ottieni
$ F(s)=int_(0)^(+oo) f(t)e^(-st) dt= int_(0)^(pi) sin(t)e^(-st) dt=... $
e poi trasli di $kpi$ quello che ottieni
Mi sembrava fosse già stato suggerito come risolvere ad ogni modo direi
\begin{align}
& \mathcal{L_t}(|\sin(t)|) = \int_0^\infty |\sin(t) | e^{-s t} \text{d} t = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{\pi n}^{\pi (n+1)} |\sin(t) | e^{-s t} \text{d} t = \\
& \sum_{n=0}^\infty e^{-n \pi s} \int_{0}^{\pi} \sin(t) e^{-s t} \text{d} t = \frac{1+e^{-\pi s}}{1-e^{-\pi s}} \frac{1}{1+s^2}=
\text{coth}(\frac{\pi s}{2})\frac{1}{1+s^2}
\\
\end{align}
\begin{align}
& \mathcal{L_t}(|\sin(t)|) = \int_0^\infty |\sin(t) | e^{-s t} \text{d} t = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{\pi n}^{\pi (n+1)} |\sin(t) | e^{-s t} \text{d} t = \\
& \sum_{n=0}^\infty e^{-n \pi s} \int_{0}^{\pi} \sin(t) e^{-s t} \text{d} t = \frac{1+e^{-\pi s}}{1-e^{-\pi s}} \frac{1}{1+s^2}=
\text{coth}(\frac{\pi s}{2})\frac{1}{1+s^2}
\\
\end{align}
Ricordavo anche io che c'era in un altro post tale soluzione
Ho provato a cercare nel forum prima di postare ma non ho trovato niente, scusate !
Grazie della risposta.
Grazie della risposta.
Grazie mille, scusa il ritardo!
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