Trasformata di Fourier e sistemi LTI

[Cilibrizzi]

Salve a tutti, ho trovato un esercizio in cui si richiede di trovare la risposta impulsiva del sistema LTI dato l'andamento temporale dell'ingresso e dell'uscita.
$x(t)=Acos(2*pi*f_0*t) $
$y(t)=Asinc(10*f_0)*cos(2*pi*f_0*(t+5))$

Ho deciso di passare in frequenza e calcolare $H(f)=(Y(f))/(X(f))$ per poi antitrasformare ed ottenere $h(t)$.

Il mio problema è nella trasformata di $y(t)$ io l'ho scritta così ma non sono sicuro

$Y(f)=(A*sinc(10f_0)/2)*(e^(j*2*pi*5*f_o)*delta(f-f_0)+e^-(j*2*pi*5*f_o)*delta(f+f_0))$

Ottenendo così la seguente $H(f)$

$H(f)=sinc(10*f_0)*(e^(j*2*pi*5*f_o)*delta(f-f_0)+e^-(j*2*pi*5*f_o)*delta(f+f_0))/(delta(f+f_0)+delta(f-f_0))$


Volevo chiedervi se la trasformata di $y(t)$ è corretta, e magari qualche suggerimento per anti-trasformare $H(f)$ perché non so come partire, ed infine volevo chiedervi una cosetta un sulla trasformata di Fourier, la seguente proprietà

$F{x(t-t_0)}=F{x(t)}*e^(j2*pi*f*t_0)$

la posso applicare alla $y(t)$ sopra?

[fireball-votailprof]

La prima è immediata
Per la seconda trasformata applica il teorema della modulazione ricordando che la trasformata del seno circolare la puoi esprimere come un rect.

[Cilibrizzi]

Forse ho trovato un'altra strada....dato che nel testo dice che $y(t)=Asinc(f_0)*cos(2*pi*f_o*(t+5))$ vale per ogni $f_0$ ho pensato di sfruttare il fatto che se l'ingresso di un sistema LTI è un coseno a frequenza $f_0$ l'uscita è sempre nella forma

$y(t)=A*||(H(f_0)||*cos(2*pi*f_0*t+/_ (H(f_0)))$

Quindi ho trovato la seguente espressione per la risposta impulsiva

$h(t)=1/10*rect(t/10-5)$