Trasformata di Fourier di t rect(t)

[elena.martini17]

Salve , ho risolto un esercizio nel quale devo trovare la trasformata di Fourier di $$ x(t) = t rect ( t- \frac{1}{2} ) $$. Per farlo ho sfruttato la proprietà secondo la quale la trasformata di t rect (t) e’ uguale ad i per la derivata della trasformata di rect (t). Considerando che la derivata del sinc e’ $$ \frac{ cos f - sen f }{f} $$ e che la trasformata di $$ rect ( t- \frac{1}{2} ) $$ e’ $$ sinc f e^{- i \pi f } $$ allora ottengo il seguente spettro $$ i e^ {-i \pi f} [ \frac{ cos f - sinc f }{f} - sinc f { i \pi } ] $$ il mio libro ottiene invece $$ [ \frac{1}{2} sinc f + \frac{1}{i2 \pi f } ( sinc f - cos \pi f ) ] e^{i \pi f } $$ non riesco a capire dove sbaglio Grazie mille

[Exodus1]

"enna": la trasformata di t rect (t) e’ uguale ad i per la derivata della trasformata di rect (t)

Manca un fattore di scala, devi moltiplicare per $i/(2\pi)$

"enna":Considerando che la derivata del sinc e’
$(cosf−senf)/f$

Hai dimenticato la traslazione, devi derivare anche quella insieme alla funzione.

"enna":il mio libro ottiene invece ....

Manca un segno $-$ all'esponenziale

[elena.martini17]

Grazie mille per l’appunto sul fattore scala ! riguardo alla derivata a un certo punto dovrei fare la derivata di $$ sinc (f) e^{-i \pi f } $$ e questo ( secondo quello che ho fatto io, ma magari l’errore è proprio qui ) equivale a $$ [sinc (f)]’ e^{-i \pi f } + sinc (f) [ e^{-i \pi f }]’ $$ che io ho riscritto come $$ \frac{cos f - sinc f }{f} e^{-i \pi f} + sinc f e ^{-i \pi f } (- i \pi ) $$ tutto questo poi , per trovare lo spettro finale , sarà moltiplicato per $$ \frac{i^{2}} {2\pi } $$ considerando il fattore di scala ? Grazie !

[Exodus1]

Te la riscrivo in maniera corretta:

\(ℱ\left [ t\cdot \Pi \left ( t-\frac{1}{2} \right ) \right ]= \frac{i}{2\pi }\cdot\frac{d}{df}\left (sinc\left ( f \right )e^{-i\pi f} \right )\)

Lascio a te i calcoli

[elena.martini17]

Grazie mille !!! ancora non mi viene il risultato corretto ma almeno si avvicina molto , per il mio morale è un passo avanti

[elena.martini17]

L’errore , che continuavo a fare era nella derivata del sinc , che ho scoperto essere $$ \frac{f cos f - sin f}{f^2} $$. Il risultato ora viene identico a quello ottenuto dal libro tranne che per il fatto che io ottengo cos f e non $$ cos \pi f $$. Qualche anima pia potrebbe illuminarmi ?

[Exodus1]

Prova cosi:
\(\frac{d}{df}\left ( sinc\left ( f \right ) \right )=\frac{1}{f}\left ( cos\left ( \pi f \right )-sinc\left ( f \right ) \right )\)



NB: \(sinc\left ( f \right )=\frac{1}{\pi f}\left ( sin\left ( \pi f \right ) \right )\)

[elena.martini17]

Grazie mille !!!!!!!!!! Ora viene mi scriverò queste formule ovunque