Trasformata di Fourier

[ViperNaples]

Salve a tutti, fra pochi giorni ho l'esame di Metodi Matematici per l'ingegneria. Sono alle prese con il seguente esercizio:

trasformata di fourier del segnale

$ x(t)=e^{-t}*sin^{2}t $

con $ 0
vi prego aiutatemi a risolverlo, grazie

[ViperNaples]

Io ho cominciato a risolverlo in questo modo:
per la definizione di trasformata di fourier si ha $ int_(-oo )^(+oo ) e^{-t}sin^2(t)e^{-j omega t}dt=int_(-oo )^(+oo ) (1+cos 2t) /2 * e^{-t(1+j omega)}dt=int_(0)^(pi) (1+cos 2t) /2 * e^{-t(1+j omega)}dt=1/2int_(0)^(pi) (1-cos 2t)e^{-t(1+j omega)}dt=$
$= 1/2int_(0)^(pi) e^{-t(1+j omega)}-(e^{2jt}+e^{-2jt})/2 * e^{-t(1+j omega)}dt $

Sto procedendo bene? Come continuo?

Grazie

[gugo82]

Guarda, se hai studiato già le distribuzioni la trasformazione viene facile, senza fare troppi conti.

Però non capisco una cosa: il segnale [tex]$x(t)$[/tex] è periodico e generato dalla funzione [tex]$x_0(t):=e^{-t}\sin^2 t$[/tex], ok fin qui ci sono; però il periodo di [tex]$x(t)$[/tex] deve essere [tex]$2\pi$[/tex] e perciò non basta assegnare la "funzione generatrice" [tex]$x_0(t)$[/tex] sull'intervallo [tex]$[0,\pi[$[/tex] per determinare univocamente il segnale [tex]$x(t)$[/tex]: infatti potresti prolungare [tex]$x_0(t)$[/tex] in svariati modi all'intervallo [tex]$[-\pi, \pi[$[/tex] e poi estendere il tutto per periodicità ottenendo segnali diversissimi, come si vede nelle figure seguenti:

1) prolungamento pari + prolungamento per periodicità:
[asvg]xmin=-9;xmax=9;ymin=-1;ymax=1;
axes("","");
plot("exp(-x+6.28)*(sin(x))^2",6.28,9.42);
plot("exp(x-6.28)*(sin(x))^2",3.14,6.28);
plot("exp(-x-6.28)*(sin(x))^2",-6.28,-3.14);
plot("exp(x+6.28)*(sin(x))^2",-9.42,-6.28);
stroke="red"; plot("exp(-x)*(sin(x))^2",0,3.14);
stroke="dodgerblue"; plot("exp(x)*(sin(x))^2",-3.14,0);[/asvg]

2) prolungamento dispari + prolungamento per periodicità:
[asvg]xmin=-9;xmax=9;ymin=-1;ymax=1;
axes("","");
plot("exp(-x+6.28)*(sin(x))^2",6.28,9.42);
plot("-exp(x-6.28)*(sin(x))^2",3.14,6.28);
plot("exp(-x-6.28)*(sin(x))^2",-6.28,-3.14);
plot("-exp(x+6.28)*(sin(x))^2",-9.42,-6.28);
stroke="red"; plot("exp(-x)*(sin(x))^2",0,3.14);
stroke="dodgerblue"; plot("-exp(x)*(sin(x))^2",-3.14,0);[/asvg]

3) prolungamento a zero + prolungamento per periodicità:
[asvg]xmin=-9;xmax=9;ymin=-1;ymax=1;
axes("","");
plot("exp(-x+6.28)*(sin(x))^2",6.28,9.42);
plot("0",3.14,6.28);
plot("exp(-x-6.28)*(sin(x))^2",-6.28,-3.14);
plot("0",-9.42,-6.28);
stroke="red"; plot("exp(-x)*(sin(x))^2",0,3.14);
stroke="dodgerblue"; plot("0",-3.14,0);[/asvg]

4) prolungamento lineare + prolungamento per periodicità:
[asvg]xmin=-9;xmax=9;ymin=-1;ymax=1;
axes("","");
plot("exp(-x+6.28)*(sin(x))^2",6.28,9.42);
plot("(-x+6.28)/3.14",3.14,6.28);
plot("exp(-x-6.28)*(sin(x))^2",-6.28,-3.14);
plot("(-x-6.28)/3.14",-9.42,-6.28);
stroke="red"; plot("exp(-x)*(sin(x))^2",0,3.14);
stroke="dodgerblue"; plot("(-x)/3.14",-3.14,0);[/asvg]


Quindi non ti posso aiutare finchè non chiarisci come intendi prolungare [tex]$x_0(t)$[/tex] ad un intervallo che è lungo quanto il periodo di [tex]$x(t)$[/tex].
Controlla bene la traccia, può darsi che lo dica.

[ViperNaples]

Innazitutto voglio ringraziarti per la disponibilità, comunque la traccia d'esame dice solo che il periodo del segnale x(t) è $T = pi$.
Le distribuzioni le ho studiate, ma non riesco prorio a capire come possano rendermi la vita più facile. Mi potresti far vedere come si applicano a quest'esercizio?
Grazie ancora.

[elgiovo]

Ciao gugo, per quanto ho visto nel forum di solito in questi esercizi si prolunga così:

[asvg]xmin=-9;xmax=9;ymin=-1;ymax=1;
axes("","");
plot("exp(-x+6.28)*(sin(x))^2",6.28,9.42);
plot("exp(-x+3.14)*(sin(x))^2",3.14,6.28);
plot("exp(-x-6.28)*(sin(x))^2",-6.28,-3.14);
plot("exp(-x-9.42)*(sin(x))^2",-9.42,-6.28);
stroke="red"; plot("exp(-x)*(sin(x))^2",0,3.14);
stroke="dodgerblue"; plot("exp(-x-3.14)*(sin(x))^2",-3.14,0);[/asvg]

E comunque trovo anch'io strano che [tex]t \in [0,\pi][/tex] se il periodo è [tex]2\pi[/tex].

@ ViperNaples: il [tex]\sin^2[/tex] ha per trasformata tre delta di Dirac, che sono comode da convolvere (prodotto nel tempo -> convoluzione in frequenza) con altre funzioni...

[elgiovo]

"ViperNaples": il periodo del segnale x(t) è $T = pi$

Ah ecco, c'era un errore di trascrizione...

[ViperNaples]

Si scusate ho fatto un errore di trascrizione, evidentemente sono fuso!!! Comunque ancora non ho capito come si risolve l'esercizio, avete appunti in pdf di esercizi svolti o cose del genere da cui potrei attingere informazioni preziose? Grazie
P.S. Se non è troppo fastidio scrivetemela la soluzione, per favore...sono disperato

[gugo82]

Ah ecco... [tex]$T=\pi$[/tex], non [tex]$T=2\pi$[/tex] come dicevi nel primo post.
Secondo te perchè vi raccomandiamo di controllare bene il testo degli esercizi che postate (cfr. ad esempio questo avviso)?

Ad ogni modo, il tuo è un segnale periodico che non può essere (e non è) in [tex]$L^1(\mathbb{R})$[/tex], quindi l'integrale che definisce la TdF classica non converge necessariamente.
Pertanto la TdF del tuo segnale ha senso solo in ambito distribuzionale e, per calcolarla, devi ricorrere ai "trucchi" che consentono il calcolo della TdF nel senso delle distribuzioni.

Nel tuo caso [tex]$x(t)$[/tex] è la replica periodica del segnale [tex]$[0,\pi[\ni t\mapsto e^{-t}\sin^2 t$[/tex] di periodo [tex]$T=\pi$[/tex]; posto:

[tex]$x_0(t):=e^{-t}\sin^2 t\ [\text{u}(t)-\text{u}(t-\pi)] =\begin{cases} e^{-t}\sin^2 t &\text{, se $t\in [0,\pi[$} \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}$[/tex],

si può allora scrivere:

[tex]$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_0(t-n\pi)$[/tex]

e, detta [tex]$X(\omega)=\mathcal{F}\big[x(t)\big](\omega)$[/tex] la TdF di [tex]$x(t)$[/tex] nel senso delle distribuzioni, detta [tex]$X_0(\omega)$[/tex] la TdF classica di [tex]$x_0(t)$[/tex]* e posto [tex]$\omega_0=\tfrac{2\pi}{T}=2$[/tex], per il primo teorema di campionamento si ha:

[tex]$X(\omega )=\omega_0 \sum_{n=-\infty}^{+\infty} X_0(n\omega_0)\ \delta (\omega -n\omega_0)$[/tex]
[tex]$=2 \sum_{n=-\infty}^{+\infty} X_0(2n)\ \delta (\omega -2n)$[/tex],

ergo per conoscere [tex]$X(\omega)$[/tex] occorre e basta saper calcolare la TdF di [tex]$x_0(t)$[/tex] ossia [tex]$X_0(\omega) =\mathcal{F}\big[ x_0(t)\big](\omega)$[/tex].

__________
*Essendo [tex]$x_0(t)$[/tex] a supporto compatto e continua in tutto il suo supporto, evidentemente [tex]$x_0(t)$[/tex] è in [tex]$L^1(\mathbb{R})$[/tex], sicché la TdF di [tex]$x_0(t)$[/tex] esiste in senso classico.

Proviamo a calcolare [tex]$X_0(\omega)$[/tex]: ciò si può fare in diversi modi.

Il primo è usare la definizione:

[tex]$X_0(\omega) =\int_{-\infty}^{+\infty} x_0(t)\ e^{-\jmath \omega t}\ \text{d} t$[/tex]
[tex]$=\int_0^\pi \sin^2 t\ e^{-(1+\jmath \omega )t}\ \text{d} t$[/tex] (gli estremi d'integrazione tengono conto della presenza dei gradini)

e risolvere l'ultimo integrale con tecniche standard (integrazione per parti).

Però possiamo procedere anche in altro modo.
Visto che c'è una funzione trigonometrica dentro [tex]$x_0(t)$[/tex] possiamo provare a derivare [tex]$x_0(t)$[/tex] nel senso delle distribuzioni e vedere se riusciamo ad ottenere una combinazione di derivate di [tex]$x_0(t)$[/tex] contenente solo impulsi (perchè in tal caso la trasformata si calcola facile).
Abbiamo:

[tex]$x_0(t)=e^{-t}\sin^2 t\ [\text{u} (t) -\text{u}(t-\pi)]$[/tex]

[tex]$x_0^\prime (t)=-e^{-t} \sin^2 t\ [\text{u} (t) -\text{u}(t-\pi)]+e^{-t}\sin 2t\ [\text{u} (t) -\text{u}(t-\pi)] + e^{-t}\sin^2 t\Big|_{t=0} \delta (t) - e^{-t}\sin^2 t\Big|_{t=\pi} \delta (t-\pi)$[/tex]
[tex]$=-x_0(t) + e^{-t}\sin 2t\ [\text{u} (t) -\text{u}(t-\pi)]$[/tex],

quindi:

[tex]$x_0^\prime (t) +x_0(t) =e^{-t}\sin 2t\ [\text{u} (t) -\text{u}(t-\pi)]$[/tex];

derivando l'ultima uguaglianza troviamo:

[tex]$x_0^{\prime \prime} (t) +x_0^\prime (t) =-e^{-t}\sin 2t\ [\text{u} (t) -\text{u}(t-\pi)] +e^{-t} 2\cos 2t\ [\text{u} (t) -\text{u}(t-\pi)] +e^{-t}\sin 2t\Big|_{t=0} \delta (t)- e^{-t}\sin 2t\Big|_{t=\pi} \delta (t-\pi)$[/tex]
[tex]$=-[x_0^\prime (t) +x_0(t)] +2e^{-t}\cos 2t\ [\text{u} (t) -\text{u}(t-\pi)]$[/tex]

quindi:

[tex]$x_0^{\prime \prime} (t) +2x_0^\prime (t) +x_0(t) =2e^{-t}\cos 2t\ [\text{u} (t) -\text{u}(t-\pi)]$[/tex];

derivando ancora:

[tex]$x_0^{\prime \prime \prime} (t) +2x_0^{\prime \prime} (t) +x_0^\prime (t) =-2e^{-t}\cos 2t\ [\text{u} (t) -\text{u}(t-\pi)]-4e^{-t}\sin 2t\ [\text{u} (t) -\text{u}(t-\pi)] +2e^{-t}\cos 2t\Big|_{t=0} \delta (t)-2e^{-t}\cos 2t\Big|_{t=\pi} \delta (t-\pi)$[/tex]
[tex]$=-[x_0^{\prime \prime} (t) +2x_0^\prime (t) +x_0(t)] -4[x_0^\prime (t) +x_0(t)] +2\delta (t) -2e^{-\pi} \delta (t-\pi)$[/tex]

quindi:

[tex]$x_0^{\prime \prime \prime} (t)+ 3x_0^{\prime \prime} (t) +7x_0^\prime (t) +5x_0 (t)=2\delta (t) -2e^{-\pi} \delta (t-\pi)$[/tex].

Passando alla TdF e tenendo presente che la trasformata di una derivata se ne và in una moltiplicazione per una potenza di [tex]$\jmath \omega$[/tex], dalla precedente traiamo:

[tex]$X_0(\omega)\ [(\jmath \omega)^3+3(\jmath \omega)^2+7(\jmath \omega)+5]=2\mathcal{F}\big[ \delta(t)\big] (\omega) -2e^{-\pi} \mathcal{F}\big[ \delta (t-\pi)\big] (\omega)$[/tex]
[tex]$=2-2e^{-\pi(1+ \omega)}$[/tex]

ossia:

[tex]$X_0(\omega) = \frac{2(e^{-\pi- \jmath \pi \omega} -1)}{\jmath \omega^3 +3\omega^2 -7\jmath \omega -5} = \frac{2(e^{-\pi-\jmath \pi \omega} -1)}{(\omega -\jmath)(\omega +2-\jmath)(\omega -2-\jmath)}$[/tex]

Ora:

[tex]$X_0(2n) = \frac{2e^{-\pi} -2}{8\jmath n^3 +12n^2 -14\jmath n -5} =\frac{2(e^{-\pi}-1)}{(2n-\jmath)(2n+2-\jmath)(2n-2-\jmath)}$[/tex]

quindi:

[tex]$X(\omega) =4(e^{-\pi}-1) \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(2n-\jmath)(2n+2-\jmath)(2n-2-\jmath)}\ \delta (\omega -2n)$[/tex].

Una tecnica possibile è quella che ti ho illustrato; probabilmente gli ingegneri che bazzicano da queste parti potranno consigliarti qualche altra strategia.
Ovviamente, si devono controllare i calcoli... Non prendere tutto come oro colato!

[ViperNaples]

@ gugo82: grazie ,grazie e ancora grazie, sei stato preziosissimo!!!!