Transitorio del II ordine
Ragazzi sono nuovo di questo forum, spero di trovarmi bene per poter poi scrivere ancora 
Sono in seria difficolà con questo transitorio del secondo ordine:
http://img717.imageshack.us/img717/2799/immagined2.jpg
Il problema è che mi chiede la potenza erogata dall'induttore! Bene, io riesco a trovare l'equazione differenziale con la tensione del condensatore come variabile di integrazione usando il metodo di maxwell, ma non riesco a trovare quella con la corrente nell'induttore come variabile di integrazione! Come devo fare??? Ci sto sbattendo la testa su da ore!
Sono in seria difficolà con questo transitorio del secondo ordine:
http://img717.imageshack.us/img717/2799/immagined2.jpg
Il problema è che mi chiede la potenza erogata dall'induttore! Bene, io riesco a trovare l'equazione differenziale con la tensione del condensatore come variabile di integrazione usando il metodo di maxwell, ma non riesco a trovare quella con la corrente nell'induttore come variabile di integrazione! Come devo fare??? Ci sto sbattendo la testa su da ore!
Risposte
Utilizzando un po' di elettrotecnica:
[tex]\begin{cases}
e_1(t)-R_1i_L(t)-L\frac{di_L(t)}{dt}-v_C(t)=0\\
i_L(t)-i_C(t)+j_5(t)=\frac{v_C(t)}{R}
\end{cases}[/tex]
ovvero
[tex]\begin{cases}
v_C(t)=e_1(t)-R_1i_L(t)-L\frac{di_L(t)}{dt}\\
C\frac{dv_C(t)}{dt}+\frac{v_C(t)}{R}=i_L(t)+j_5(t)
\end{cases}[/tex]
Quindi, sostituendo la prima nella seconda, si ha:
[tex]LC\frac{d^2i_L(t)}{dt^2}+(R_1C+\frac{L}{R})\frac{di_L(t)}{dt}+(1+\frac{R_1}{R})i_L(t)=\frac{e1(t)}{R}+C\frac{de_1(t)}{dt}-j_5(t)[/tex]
(spero di non aver fatto errori di calcolo)
Comunque, in generale, una volta risolta l'equazione differenziale per una variabile non è certo necessario risolverla nuovamente. Ma non sarebbe molto più semplice operare con i fasori?
[tex]\begin{cases}
e_1(t)-R_1i_L(t)-L\frac{di_L(t)}{dt}-v_C(t)=0\\
i_L(t)-i_C(t)+j_5(t)=\frac{v_C(t)}{R}
\end{cases}[/tex]
ovvero
[tex]\begin{cases}
v_C(t)=e_1(t)-R_1i_L(t)-L\frac{di_L(t)}{dt}\\
C\frac{dv_C(t)}{dt}+\frac{v_C(t)}{R}=i_L(t)+j_5(t)
\end{cases}[/tex]
Quindi, sostituendo la prima nella seconda, si ha:
[tex]LC\frac{d^2i_L(t)}{dt^2}+(R_1C+\frac{L}{R})\frac{di_L(t)}{dt}+(1+\frac{R_1}{R})i_L(t)=\frac{e1(t)}{R}+C\frac{de_1(t)}{dt}-j_5(t)[/tex]
(spero di non aver fatto errori di calcolo)
Comunque, in generale, una volta risolta l'equazione differenziale per una variabile non è certo necessario risolverla nuovamente. Ma non sarebbe molto più semplice operare con i fasori?
Cioè dici che se la risolvo per vc allora basta? poi mi trovo IL in qualche altro modo?
Comunque sono d'accordo con te che sarebbe più facile... Ma il prof che mi fa l'esame lo vuole così, non posso farci nulla!
Comunque sono d'accordo con te che sarebbe più facile... Ma il prof che mi fa l'esame lo vuole così, non posso farci nulla!
Cioè dici che se la risolvo per vc allora basta? poi mi trovo IL in qualche altro modo?
Comunque sono d'accordo con te che sarebbe più facile... Ma il prof che mi fa l'esame lo vuole così, non posso farci nulla!
Comunque sono d'accordo con te che sarebbe più facile... Ma il prof che mi fa l'esame lo vuole così, non posso farci nulla!
Certo che ti basta calcolare la sola [tex]v_C[/tex]. Risolvi sempre una sola volta l'equazione differenziale e poi ti calcoli il resto con un po' di equazioni alla maglia e/o ai nodi.
Beh i fasori bisogna comunque andarli a calcolare per le condizioni iniziali che servono per risolvere l'equazione differenziale.
PErò è necessario fare i conti istantanei perché è richiesta la potenza istantanea.
Mai capitato un esercizione del genere comunque, neanche ad ingegneria elettrica.
Tuttavia invece che star lì a risolverti l'equazione differenziale, siccome già l'esercizio non è per nulla corto, direi che dati i sistemi:
[tex]\begin{cases}
e_1(t)-R_1i_L(t)-L\frac{di_L(t)}{dt}-v_C(t)=0\\
i_L(t)-i_C(t)+j_5(t)=\frac{v_C(t)}{R}
\end{cases}[/tex]
che puoi scrivere come
[tex]\begin{cases}
L\frac{di_L(t)}{dt}=-R_1i_L(t)-v_C(t)+e_1(t)\\
C\frac{dv_C(t)}{dt}=i_L(t)+\frac{v_C(t)}{R}+j_5(t)
\end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases}
\frac{di_L(t)}{dt}=\frac{-R_1i_L(t)}{L}-\frac{v_C(t)}{L}+\frac{e_1(t)}{L}\\
\frac{dv_C(t)}{dt}=\frac{i_L(t)}{C}+\frac{v_C(t)}{RC}+\frac{j_5(t)}{C}
\end{cases}[/tex]
Ora scrivi il sistema in forma matriciale:
$[[(di_L(t))/dt],[(dv_C(t))/dt]]=[[-R_1/L,-1/L],[1/C,1/(RC)]]*[[i_L(t)],[v_C(t)]]+[[{e1(t)}/L],[{j_5(t)}/C]]$
$[[-R_1/L,-1/L],[1/C,1/(RC)]]$
$[[-10000,-1000],[500000,50000]]$
è la matrice di stato, dove gli autovalori di tale matrice $\lambda_1$ $\lambda_2$ non sono nient'altro che le frequenze naturali del circuito.
Ovviamente dovranno venirti entrambi negativi, sennò significa che hai sbagliato qualcosa.
Un circuito con componenti passivi non può essere instabile.
Tu sai che la soluzione dell'equazione differenziale per un circuito del secondo ordine ha sempre una forma pari a
$i_L(t) = A * e^(\lambda_1*t) + B*e^(\lambda_2*t) + i_L(\infty)$
Ora ti ricavi
A e B sapendo che
[tex]\begin{cases}
i_L(0^+) = A+ B+ i_L(\infty)\\
\frac{di_L(t)}{dt}|_{0^+}=A*\lambda_1+ B*\lambda_2+\frac{di_L(\infty)}{dt}|_{0^+}
\end{cases}[/tex]
Dove i valori [tex]i_L(0^+), i_L(\infty), \frac{di_L(t)}{dt}|_{0^+} e \frac{di_L(\infty)}{dt}|_{0^+}[/tex] sono le condizioni iniziali del circuito.
Ah, i valori [tex]\frac{di_L(t)}{dt}|_{0^+} e \frac{di_L(\infty)}{dt}|_{0^+}[/tex] ti consiglio di determinarli in questo modo dal calcolo matriciale:
$[[(di_L(0^+))/dt],[(dv_C(0^+))/dt]]=[[-R_1/L,-1/L],[1/C,1/(RC)]]*[[i_L(0^+)],[v_C(0^+)]]+[[{e1(t)}/L],[{j_5(t)}/C]]$
$[[(di_L(\infty))/dt],[(dv_C(infty))/dt]]=[[-R_1/L,-1/L],[1/C,1/(RC)]]*[[i_L(\infty)],[v_C(infty)]]+[[{e1(t)}/L],[{j_5(t)}/C]]$
perdi molto meno tempo che ricavarli dalle equazione alle maglie negli istanti $0^+$ e $0^-$
Ovviamente $i_L(0^+)$ e $i_L(\infty)$ te le devi per forza ricavare dal circuito ragionando con i fasori.
PErò è necessario fare i conti istantanei perché è richiesta la potenza istantanea.
Mai capitato un esercizione del genere comunque, neanche ad ingegneria elettrica.
Tuttavia invece che star lì a risolverti l'equazione differenziale, siccome già l'esercizio non è per nulla corto, direi che dati i sistemi:
[tex]\begin{cases}
e_1(t)-R_1i_L(t)-L\frac{di_L(t)}{dt}-v_C(t)=0\\
i_L(t)-i_C(t)+j_5(t)=\frac{v_C(t)}{R}
\end{cases}[/tex]
che puoi scrivere come
[tex]\begin{cases}
L\frac{di_L(t)}{dt}=-R_1i_L(t)-v_C(t)+e_1(t)\\
C\frac{dv_C(t)}{dt}=i_L(t)+\frac{v_C(t)}{R}+j_5(t)
\end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases}
\frac{di_L(t)}{dt}=\frac{-R_1i_L(t)}{L}-\frac{v_C(t)}{L}+\frac{e_1(t)}{L}\\
\frac{dv_C(t)}{dt}=\frac{i_L(t)}{C}+\frac{v_C(t)}{RC}+\frac{j_5(t)}{C}
\end{cases}[/tex]
Ora scrivi il sistema in forma matriciale:
$[[(di_L(t))/dt],[(dv_C(t))/dt]]=[[-R_1/L,-1/L],[1/C,1/(RC)]]*[[i_L(t)],[v_C(t)]]+[[{e1(t)}/L],[{j_5(t)}/C]]$
$[[-R_1/L,-1/L],[1/C,1/(RC)]]$
$[[-10000,-1000],[500000,50000]]$
è la matrice di stato, dove gli autovalori di tale matrice $\lambda_1$ $\lambda_2$ non sono nient'altro che le frequenze naturali del circuito.
Ovviamente dovranno venirti entrambi negativi, sennò significa che hai sbagliato qualcosa.
Un circuito con componenti passivi non può essere instabile.
Tu sai che la soluzione dell'equazione differenziale per un circuito del secondo ordine ha sempre una forma pari a
$i_L(t) = A * e^(\lambda_1*t) + B*e^(\lambda_2*t) + i_L(\infty)$
Ora ti ricavi
A e B sapendo che
[tex]\begin{cases}
i_L(0^+) = A+ B+ i_L(\infty)\\
\frac{di_L(t)}{dt}|_{0^+}=A*\lambda_1+ B*\lambda_2+\frac{di_L(\infty)}{dt}|_{0^+}
\end{cases}[/tex]
Dove i valori [tex]i_L(0^+), i_L(\infty), \frac{di_L(t)}{dt}|_{0^+} e \frac{di_L(\infty)}{dt}|_{0^+}[/tex] sono le condizioni iniziali del circuito.
Ah, i valori [tex]\frac{di_L(t)}{dt}|_{0^+} e \frac{di_L(\infty)}{dt}|_{0^+}[/tex] ti consiglio di determinarli in questo modo dal calcolo matriciale:
$[[(di_L(0^+))/dt],[(dv_C(0^+))/dt]]=[[-R_1/L,-1/L],[1/C,1/(RC)]]*[[i_L(0^+)],[v_C(0^+)]]+[[{e1(t)}/L],[{j_5(t)}/C]]$
$[[(di_L(\infty))/dt],[(dv_C(infty))/dt]]=[[-R_1/L,-1/L],[1/C,1/(RC)]]*[[i_L(\infty)],[v_C(infty)]]+[[{e1(t)}/L],[{j_5(t)}/C]]$
perdi molto meno tempo che ricavarli dalle equazione alle maglie negli istanti $0^+$ e $0^-$
Ovviamente $i_L(0^+)$ e $i_L(\infty)$ te le devi per forza ricavare dal circuito ragionando con i fasori.
"etec83":
PErò è necessario fare i conti istantanei perché è richiesta la potenza istantanea.
Si potrebbe tranquillamente procedere con i fasori e poi, ripassando nel dominio del tempo, calcolare la potenza istantanea.
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