[Termodinamica] Esercizio sulla temperatura

[raffaele19651]

Ciao.

Propongo ancor un esercizio di termodinamica in vista dell'esame a breve. Sono al secondo anno di Ing. Chimica.

Non riesco a capire come arrivare alla soluzione. Mi aiutate?

Una mole di $CaCO_3$ (volume: $35 \ cm^3$, trascurabile rispetto a quello del recipiente) viene chiusa in un cilindro indeformabile da 100 L nel quale è fatto successivamente il vuoto pneumatico. A che temperatura dovrò portare il cilindro perché il carbonato si converta completamente in ossido?

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ CaCO_3(s) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ CaO(s) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ CO_2(g)$
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$\Delta_fH_298^° \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -1206 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -635 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -393$ (KJ/mol)
$\Delta_fG_298^° \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -1128 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -604 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -394$ (Kj/mol)

Il calore di reazione piò essere ritenuto costante con la temperatura. Il sistema è ideale.

Grazie a tutti per l'aiuto.
Carola.

[mdonatie]

Per prima cosa possiamo scrivere la reazione di disproporzione del carbonato di calcio.
\begin{equation*}CaCO_3 \, \rightleftarrows \, CaO \, + \, CO_2\end{equation*}
Con i dati forniti dal problema siamo in grado di definire la costante di equilibrio alla temperatura di $298 K$:
\begin{equation*} \ln K(T_{298}) = -\frac{\Delta G_r^o}{RT}=-\frac{G_{f_{CaO}}^o+G_{f_{CO_2}}^o-G_{f_{CaCO_3}}^o}{RT}=-52.5\end{equation*}
Per conversione si intende il rapporto delle moli che partecipano alla reazione rispetto le moli iniziali, in tal caso questo rapporto è unitario, implicando una completa conversione del carbonato di calcio.
\begin{equation*}X_{CaCO_3}=\frac{n_{CaCO_3}^o-n_{CaCO_3}}{n_{CaCO_3}^o}=1\end{equation*}
In tal caso è possibile determinare il numero di moli che si hanno di ciascuna specie alla fine della reazione:
\begin{equation*}n_{CaCO_3}=n_{CaCO_3}^o-n_{CaCO_3}^oX_{CaCO_3}=0\end{equation*}
\begin{equation*}n_{CaO}=n_{CaO}^o+\frac{\nu_{CaO}}{\nu_{CaCO_3}}n_{CaCO_3}^oX_{CaCO_3}=1\end{equation*}
\begin{equation*}n_{CO_2}=n_{CO_2}^o+\frac{\nu_{CO_2}}{\nu_{CaCO_3}}n_{CaCO_3}^oX_{CaCO_3}=1\end{equation*}
In tal caso possiamo definire il numero di moli totali a fine reazione, come la somma delle tre relazioni:
\begin{equation*}n_T=n_T^o+\frac{\Delta \nu}{\nu_{CaCO_3}}n_{CaCO_3}^oX_{CaCO_3}=2\, mol\end{equation*}
La costante di equilibrio può essere interpretata sfruttando la regola delle fasi di Gibbs come la produttoria del rapporto delle fugacità del componente i-esimo e la fugacità del componente i-esimo puro ad una pressione unitaria, il tutto elevato al coefficiente stechiometrico i-esimo del componente.
\begin{equation*}K(T)=\prod \left(\frac{f_i(P,T,\tilde{x})}{f_i(P=1\,atm,T)}\right)^{\nu_i}=\frac{a_{CaO\cdot y_{CO_2}P}}{a_{CaCO_3}}=y_{CO_2}P\end{equation*}
Al progredire della reazione la $CO_2$ formata tenderà a generare una pressione sulle pareti del cilindro, in tal caso credo che manchi un dato riguardante la pressione alla quale si vuole ottenere questa specie gassosa.
Ipotizzando che si voglia ottenere anidride carbonica ad 1 atm, la costante sarebbe $K(T)=y_{CO_2}$ e poichè l'unica specie in fase gassosa è la stessa $CO_2$, allora anche $y_{CO_2}=1$.
In tal caso utilizzando l'equazione di Gibbs-Helmholtz potremme ricavare la temperatura alla quale si ottiene la completa conversione.
\begin{equation*}\ln K(T)-\ln K(T_{298})=\frac{\Delta H_r^o}{R}\left(\frac{1}{T_{298}}-\frac{1}{T}\right)\end{equation*}
\begin{equation*}T=\frac{T_{298}\Delta H_r^o}{RT_{298}\left(\ln K(T_{298}) - \ln K(T)\right)+\Delta H_r^o}=1106.75 K=833.6^\circ C\end{equation*}