[Teoria dei Sistemi] Stabilità e Autovalori
Ciao a tutti,
per dire se un sistema è stabile o meno devo guardare la parte reale degli autovalori dunque:
se $Re(lambda) < 0$ il sistema è asintoticamente stabile esempio $lambda = - 3 + 5j$
mentre
se $Re(lambda) > 0$ il sistema è instabile esempio $3 - 4j$
ora se però la parte $Re(lambda) = 0$ cosa accade?
Mi potreste spiegare questa cosa con un esempio? Grazie
per dire se un sistema è stabile o meno devo guardare la parte reale degli autovalori dunque:
se $Re(lambda) < 0$ il sistema è asintoticamente stabile esempio $lambda = - 3 + 5j$
mentre
se $Re(lambda) > 0$ il sistema è instabile esempio $3 - 4j$
ora se però la parte $Re(lambda) = 0$ cosa accade?
Mi potreste spiegare questa cosa con un esempio? Grazie
Risposte
Se la parte reale risulta nulla allora il punto di equilibrio risulta stabile ma non asintoticamente.
Se guardi l'espressione generale delle soluzioni hai che [tex](x_1,x_2)=ce^{\alpha+i\beta\cdot t}\cdot(\bar{v}_1 + \bar{v}_2) + cost[/tex]
Ti accorgi che se [tex]\alpha=0[/tex] allora l'espressione è del tipo[tex]e^{i\beta\cdot t}....[/tex] e sai essere (dalle formule di Eulero) una combinazione lineare di seni e coseni, che descrivono delle ellissi centrate sulla posizione di equilibrio.
Pertanto da Liapunov affermi che è stabile ma non asintoticamente.
Se guardi l'espressione generale delle soluzioni hai che [tex](x_1,x_2)=ce^{\alpha+i\beta\cdot t}\cdot(\bar{v}_1 + \bar{v}_2) + cost[/tex]
Ti accorgi che se [tex]\alpha=0[/tex] allora l'espressione è del tipo[tex]e^{i\beta\cdot t}....[/tex] e sai essere (dalle formule di Eulero) una combinazione lineare di seni e coseni, che descrivono delle ellissi centrate sulla posizione di equilibrio.
Pertanto da Liapunov affermi che è stabile ma non asintoticamente.
"ELWOOD":
Se la parte reale risulta nulla allora il punto di equilibrio risulta stabile ma non asintoticamente.
Se guardi l'espressione generale delle soluzioni hai che [tex](x_1,x_2)=ce^{\alpha+i\beta\cdot t}\cdot(\bar{v}_1 + \bar{v}_2) + cost[/tex]
Ti accorgi che se [tex]\alpha=0[/tex] allora l'espressione è del tipo[tex]e^{i\beta\cdot t}....[/tex] e sai essere (dalle formule di Eulero) una combinazione lineare di seni e coseni, che descrivono delle ellissi centrate sulla posizione di equilibrio.
Pertanto da Liapunov affermi che è stabile ma non asintoticamente.
Il dubbio mi è venuto perché leggendo sul libro mi fa un ulteriore divisione e dice che quando:
$Re(lambda)=0$ dipende da $lambda$ perché se è semplice il sistema è marginalmente stabile, se è non semplice e se $lambda$ è regolare il sistema è ancora marginalmente stabile, mentre se non è regolare il sistema è debolmente instabile...ora
io non ho capito né cosa intende per semplice né per regolare..., però se è sufficiente dire che stabile non asintoticamente non scendo nei dettagli negli esercizi
A dirti la sincera verità non riesco a capire nemmeno io l'ulteriore classificazione del tuo libro.
Forse si rifà alla natura dell'autovalore [tex]\lambda[/tex] se è semplice o doppio.
Io ti ho riportato il caso generale di un sistema lineare piano...ma forse c'è qualche approfondimento che mi sfugge.[/pgn][/chessgame]
Forse si rifà alla natura dell'autovalore [tex]\lambda[/tex] se è semplice o doppio.
Io ti ho riportato il caso generale di un sistema lineare piano...ma forse c'è qualche approfondimento che mi sfugge.[/pgn][/chessgame]
"ELWOOD":
A dirti la sincera verità non riesco a capire nemmeno io l'ulteriore classificazione del tuo libro.
Forse si rifà alla natura dell'autovalore [tex]\lambda[/tex] se è semplice o doppio.
Io ti ho riportato il caso generale di un sistema lineare piano...ma forse c'è qualche approfondimento che mi sfugge.[/pgn][/chessgame]
Allora mi accontento sapere questa cosa senza ulteriori approfondimenti. Ti posso fare una domanda sul criterio di Routh se lo hai fatto?
è una domanda alla quale nemmeno il mio professore mi ha risposto in maniera chiara....
Sono spiacente ma non ne ho mai sentito parlare.
Tu studi informatica e forse è un criterio di qualche particolarità specifica.
Io a ingegneria ho studiato i sistemi lineari per la definire l'equilibrio dei sistemi meccanici
Tu studi informatica e forse è un criterio di qualche particolarità specifica.
Io a ingegneria ho studiato i sistemi lineari per la definire l'equilibrio dei sistemi meccanici
"ELWOOD":
Sono spiacente ma non ne ho mai sentito parlare.
Tu studi informatica e forse è un criterio di qualche particolarità specifica.
Io a ingegneria ho studiato i sistemi lineari per la definire l'equilibrio dei sistemi meccanici
No non studio informatica, ma ingegneria delle telecomunicazioni
però immaginavo avresti pensato che lo fossi, e sto studiando anche l'equilibrio dei sistemi meccanici, avrei preferito un altro esame di campi elettromagnetici .
"Ahi":[/quote]
[quote="ELWOOD"]Ti posso fare una domanda sul criterio di Routh se lo hai fatto?
E' un criterio che si rifà alla regola dei segni di Cartesio, niente di particolare
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo