[Teoria dei Sistemi] Regolatore lineare sullo stato
Salve a tutti 
, Ho una domanda da porvi riguardo un esercizio di teoria dei sistemi: dato il sistema
\(\displaystyle y (k+2)= -5y(k+1) -8y(k) + 2u(k) + u(k+1) \)
Il primo quesito del testo è quello di determinare la stabilità...la determino grazie al criterio di Routh dopo aver sostituito a \(\displaystyle z=\frac{1+w}{1-w} \);
La mia domanda riguarda il secondo quesito,ovvero...come faccio a progettare un regolatore lineare sullo stato, allocando gli autovalori in modo arbitrario? L'allocazione arbitraria degli autovalori...come si "applica" nei filtri digitali? Grazie in anticipo
, Ho una domanda da porvi riguardo un esercizio di teoria dei sistemi: dato il sistema \(\displaystyle y (k+2)= -5y(k+1) -8y(k) + 2u(k) + u(k+1) \)
Il primo quesito del testo è quello di determinare la stabilità...la determino grazie al criterio di Routh dopo aver sostituito a \(\displaystyle z=\frac{1+w}{1-w} \);
La mia domanda riguarda il secondo quesito,ovvero...come faccio a progettare un regolatore lineare sullo stato, allocando gli autovalori in modo arbitrario? L'allocazione arbitraria degli autovalori...come si "applica" nei filtri digitali? Grazie in anticipo
Risposte
Non sono sicuro al 100%, ma visto che hai usato la trasformata di Tustin per riportarti al caso continuo puoi allocare gli autovalori in quel dominio.
Grazie per la risposta , la trasformazione bilineare...mi porta nel piano w. Ma tale piano è uguale a quello di s? non sono sicuro di questa cosa...
, la trasformazione bilineare...mi porta nel piano w. Ma tale piano è uguale a quello di s? non sono sicuro di questa cosa...
"Dp28":
Grazie per la risposta
Si, è un piano che corrisponde a un sistema tempo continuo.
Siccome sono un pò arrugginito in materia però (ormai sono 6 anni...) ho ricercato un pò l'argomento in internet, e mi sono ricordato che l'allocazione degli autovalori, a certe condizioni (raggiungibilità del sistema) di solito si studia a tempo discreto, perché determinare la raggiungibilità a tempo continuo è un casotto (c'è un "mostro" detto gramiano di raggiungibilità...).
Il procedimento prevede che tu, tramite una trasformazione, porti il sistema in una forma detta "forma canonica di raggiungibilità" (da quanto mi ricordo nei temi d'esame in cui c'erano da allocare autovalori il sistema ti veniva fornito già in questa forma) e da lì progetti il controllore in retroazione dallo stato.
Ti rimando al capitolo 7 di queste dispense:
http://www.dii.unisi.it/~giannibi/teaching/materiale/cd/dispense/cd-dispense.pdf
Ho letto la dispensa...ma il dubbio mi rimane lo stesso: quella che chiama forma canonica di raggiungibilità è la stessa forma (che il mio prof chiama forma canonica di controllo...ma penso che sia la stessa cosa in questo caso) che uso nel caso abbia sistemi nel continuo. In quel caso grazie alla G(s), funzione di trasferimento, ...costruisco tale forma e riesco nell'intento...in questo caso invece? mi sembra di dedurre che applicando il passaggio in "w" possa fare la stessa cosa alla funzione che ottengo...
Ma scusa, nella dispensa ti sembra che tratti il caso continuo o quello discreto??
quello discreto xD
allora,
l'allocazione la puoi fare chiaramente in entrambi i casi.
gia che sei nel dominio discreto ragiona nel domnio discreto, prima di tutto passa alla forma di stato!
la stabilità poi la vedi dagli autovalori della matrice A,
per l'assegnamento, innanzitutto il sistema dev'essere raggiungibile, se lo spazio raggiungibile non ha dimensione n (dimensione dello stato) allora ci saranno n-dim(reach_space) autovalori NON assegnabili. E quelli devi essere sicuro che siano stabili.
dato il sistema
$dot(x) = A x + B u$
$y = C x$
con un feedback statico hai $u = K x + v$ -> $dot(x) = (A + BK) x + v$
se poi tu fai un cambio di base e ti porti alla forma di raggiungibilità dove
$A = ( ( 0 , 1, 0 , cdots, 0), ( 0, 0, 1, cdots , 0), (vdots, vdots, vdots, ddots, vdots), ( - alpha_0, -alpha_1, cdots, cdots, -alpha_(n-1) ) )$ e $ B = ( (0), (vdots), (vdots), (0), (1) )$
è evidente che hai , essendo i coefficienti $alpha$ quelli del polinomio caratteristico di A
$A+B K = ( ( 0 , 1, 0 , cdots, 0) , ( 0 , 0 , 1 , cdots , 0) , (vdots, vdots, vdots, ddots, vdots) , ( (k_0 - alpha_0), (k_1-alpha_1), cdots, cdots, (k_(n-1)-alpha_(n-1)) ) )$
dunque se $d_i$ sono gli autovalori desiderati hai $k_i = alpha_i - d_i$
l'allocazione la puoi fare chiaramente in entrambi i casi.
gia che sei nel dominio discreto ragiona nel domnio discreto, prima di tutto passa alla forma di stato!
la stabilità poi la vedi dagli autovalori della matrice A,
per l'assegnamento, innanzitutto il sistema dev'essere raggiungibile, se lo spazio raggiungibile non ha dimensione n (dimensione dello stato) allora ci saranno n-dim(reach_space) autovalori NON assegnabili. E quelli devi essere sicuro che siano stabili.
dato il sistema
$dot(x) = A x + B u$
$y = C x$
con un feedback statico hai $u = K x + v$ -> $dot(x) = (A + BK) x + v$
se poi tu fai un cambio di base e ti porti alla forma di raggiungibilità dove
$A = ( ( 0 , 1, 0 , cdots, 0), ( 0, 0, 1, cdots , 0), (vdots, vdots, vdots, ddots, vdots), ( - alpha_0, -alpha_1, cdots, cdots, -alpha_(n-1) ) )$ e $ B = ( (0), (vdots), (vdots), (0), (1) )$
è evidente che hai , essendo i coefficienti $alpha$ quelli del polinomio caratteristico di A
$A+B K = ( ( 0 , 1, 0 , cdots, 0) , ( 0 , 0 , 1 , cdots , 0) , (vdots, vdots, vdots, ddots, vdots) , ( (k_0 - alpha_0), (k_1-alpha_1), cdots, cdots, (k_(n-1)-alpha_(n-1)) ) )$
dunque se $d_i$ sono gli autovalori desiderati hai $k_i = alpha_i - d_i$
Salve cyd, grazie anche a lei per la risposta 
Il fatto che possa farlo sia nel continuo che nel discreto...l'ho capito. Espongo i miei risultati per dire cosa non mi convince: da \(\displaystyle y (k+2)= -5y(k+1) -8y(k) + 2u(k) + u(k+1) \), applicando la Trasformata Z, e ipotizzando condizioni iniziali nulle, ottengo \(\displaystyle Z^2y(z)=-5Z y(z) -8y(z)+2u(z)+Zu(z) \). Mettendo in evidenza \(\displaystyle y(z) \) e dividendo per \(\displaystyle u(z) \) ottengo la funzione di trasferimento in Z...che la chiamo G(z). \(\displaystyle G(z)=\frac{2+z}{z^2+5z+8} \). Ora, per verificare la stabilità del sistema ho visto che, se applico la trasformazione bilineare (che cito nei commenti di sopra) posso "vederla" subito grazie al criterio di Routh. Domanda: per il regolatore (elgiovo non me ne voglia se lo sto richiedendo 
..ma vorrei la certezza sicura al 100% di questa cosa) la matrice A la costruisco da questa funzione di trasferimento in Z, G(z), oppure alla funzione che ottengo applicando la trasformazione bilineare?
Il fatto che possa farlo sia nel continuo che nel discreto...l'ho capito. Espongo i miei risultati per dire cosa non mi convince: da \(\displaystyle y (k+2)= -5y(k+1) -8y(k) + 2u(k) + u(k+1) \), applicando la Trasformata Z, e ipotizzando condizioni iniziali nulle, ottengo \(\displaystyle Z^2y(z)=-5Z y(z) -8y(z)+2u(z)+Zu(z) \). Mettendo in evidenza \(\displaystyle y(z) \) e dividendo per \(\displaystyle u(z) \) ottengo la funzione di trasferimento in Z...che la chiamo G(z). \(\displaystyle G(z)=\frac{2+z}{z^2+5z+8} \). Ora, per verificare la stabilità del sistema ho visto che, se applico la trasformazione bilineare (che cito nei commenti di sopra) posso "vederla" subito grazie al criterio di Routh. Domanda: per il regolatore (elgiovo non me ne voglia se lo sto richiedendo ..ma vorrei la certezza sicura al 100% di questa cosa) la matrice A la costruisco da questa funzione di trasferimento in Z, G(z), oppure alla funzione che ottengo applicando la trasformazione bilineare?gia che sei nel dominio discreto ragiona nel domnio discreto, prima di tutto passa alla forma di stato!cioè...come "passo in forma di stato"?
lascia stare la funzione di trasferimento, in particolare adesso non ne hai bisogno ed in generale in essa non c'è tutta l'informazione che hai a disposizione nello stato. Infatti da essa vedi solo le parti osservabili, dunque la stabilità della fdt è la stabilità dell'uscita, l'uscita potrebbe essere stabile ma lo stato no.
poi devi assegnare gli autovalori, lavora nello stato è meglio, il criterio di Routh è lungo dallo stato è immediato vedere la stabilità
nel tuo caso l'equazione è del 2° ordine ,allora avrai due variabili di stato, puoi scrivere semplicemente
$x_1 (k+1) = x_2$
$x_2(k+1) = -8 x_1(k) -5 x_2(k)$
hai dunque $A =( (0,1),(-8,-5) )$ e $B=( (-1/4) , (1))$ e $C=( 0 , 1)$
comunque ci sono molti modi per passare in forma di stato da un'equazione alle differenze, cerca e troverai.
da qui ti porti nella forma di raggiungibilità e fai tutto quello che devi fare
poi devi assegnare gli autovalori, lavora nello stato è meglio, il criterio di Routh è lungo dallo stato è immediato vedere la stabilità
nel tuo caso l'equazione è del 2° ordine ,allora avrai due variabili di stato, puoi scrivere semplicemente
$x_1 (k+1) = x_2$
$x_2(k+1) = -8 x_1(k) -5 x_2(k)$
hai dunque $A =( (0,1),(-8,-5) )$ e $B=( (-1/4) , (1))$ e $C=( 0 , 1)$
comunque ci sono molti modi per passare in forma di stato da un'equazione alle differenze, cerca e troverai.
da qui ti porti nella forma di raggiungibilità e fai tutto quello che devi fare
Grazie per i chiarimenti evidentemente non mi è chiaro come si passa alla forma di stato. Ad esempio, infatti, ho capito come ha realizzato la matrice di stato \(\displaystyle A \) ma non ho capito, invece, come ha fatto \(\displaystyle B \)...me lo potrebbe spiegare? 
evidentemente non mi è chiaro come si passa alla forma di stato. Ad esempio, infatti, ho capito come ha realizzato la matrice di stato \(\displaystyle A \) ma non ho capito, invece, come ha fatto \(\displaystyle B \)...me lo potrebbe spiegare?
ciao,
beh a dire il vero quella l'ho fatta un po a caso, cioè una volta trovata A che è banale ho posto arbitrariamente C e poi B ho messo dei valori k1 e k2 che poi ho trovato eguagliando l'espressione di y[k+2] che veniva a me e quella data.
però se tu la metti in forma di controllabilità sei a posto. In generale la trasfrmazione fdt -> stato non è biunivoca, in giro trovi molti modi e puoi sempre ricorrere alle forme standard.
se poni
$A = ( (0,1),(-8,-5) )$ $B=((0),(1))$
$C = (2, 1)$
sei gia nella forma canonica!.
e questa la trovi semplicemente applicando la definizione della forma canonica.
beh a dire il vero quella l'ho fatta un po a caso, cioè una volta trovata A che è banale ho posto arbitrariamente C e poi B ho messo dei valori k1 e k2 che poi ho trovato eguagliando l'espressione di y[k+2] che veniva a me e quella data.
però se tu la metti in forma di controllabilità sei a posto. In generale la trasfrmazione fdt -> stato non è biunivoca, in giro trovi molti modi e puoi sempre ricorrere alle forme standard.
se poni
$A = ( (0,1),(-8,-5) )$ $B=((0),(1))$
$C = (2, 1)$
sei gia nella forma canonica!.
e questa la trovi semplicemente applicando la definizione della forma canonica.
Perfetto, ho capito grazie mille!
grazie mille!
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