[Teoria dei sistemi] Problema progetto ingresso di controllo

[lucianodep]

Salve a tutti. Devo risolvere il seguente esercizio di Teoria dei Sistemi. Si consideri il sistema a tempo continuo descritto da
$$
\dot x(t) = \begin{bmatrix} 0 & 0\\
1 & 0\end{bmatrix}x(t)+\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}u(t);
$$
$$
\qquad\qquad y(t)=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}x(t);\quad x(0)=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix};\ \ \ t\geq0.
$$
Le richieste dell'esercizio sono:

- Si determini, se possibile, un ingresso di controllo che porti lo stato del sistema da $x(0)$ per $t = 0$ allo stato nullo per $t = 1$;

- Si determini, se possibile, un ingresso di controllo, con supporto in $[0, 1]$, in modo tale
che per $t\geq1$ l'uscita (in evoluzione libera) sia nulla ma lo stato del sistema (ancora in evoluzione libera) non lo sia.

Per quanto riguarda il primo punto, ho verificato la raggiungibilità del sistema concludendo che è completamente raggiungibile. Quindi, per soddisfare la richiesta dell'esercizio, dovrei trovare i valori $f_1$ e $f_2$ di un controllo $F=[f_1, f_2]$ tale che
$$
\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}=e^{A+\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}F}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}?
$$
Per quanto riguarda il secondo punto non saprei proprio come muovermi. Avete qualche suggerimento? Grazie!

[lucianodep]

Correzione: il primo punto dell'esercizio non si svolge nel modo che ho scritto. Infatti, una volta verificata la completa raggiungibilità del sistema, l'equazione dell'ingresso che porta lo stato del sistema da $x(0)$ allo stato nullo per $t=1$ è data da
$$
u(\tau)=B^Te^{A^T(1-\tau)}\Gamma^{-1}(1)\left(\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}-e^A\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\right),\quad\tau\in[0,1]
$$
dove $\Gamma$ è il gramiano di raggiungibilità e
$$
B=\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}.
$$