Teoria dei sistemi - evoluzione e risposta a regime
Ciao a tutti, sto provando a risolvere questo punto del compito, non sono però sicuro di come.
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Ho effettuato l'analisi modale, nessun problema su questo.
Vi anticipo che potrei scrivere stupidaggini.
Ho pensato di calcolare la risposta forzata all'ingresso onda quadra seguendo un hint della professoressa, l'onda quadra che ci è stata data è una sovrapposizione dell'ingresso gradino unitario e una sommatoria:
$\delta _{-1}(t)+\Sigma (-1)^{k} 2\delta _{-1}(t-k)$ con k>0 a infinito
Calcolando la funzione di trasferimento mi trovo:
$\frac{1}{s+1}$
facendo la trasformata di Laplace, moltiplicando segnale in ingresso e funzione di trasferimento e antitrasformando mi trovo che la risposta forzata è
$\delta _{-1}(t)-e^{-t}+\Sigma (-1)^{k} 2\delta _{-1}(t-k)-e^{-(t+k)}$
Ora non so come agire per la risposta a regime permanente, potrei usare lo sviluppo in serie di Fourier e usare la formula per l'ingresso sinusoidale ma in teoria nel corso non sarebbe necessario utilizzare Fourier.
Mi servirebbe una mano, grazie in anticipo
free image hosting servicesHo effettuato l'analisi modale, nessun problema su questo.
Vi anticipo che potrei scrivere stupidaggini.
Ho pensato di calcolare la risposta forzata all'ingresso onda quadra seguendo un hint della professoressa, l'onda quadra che ci è stata data è una sovrapposizione dell'ingresso gradino unitario e una sommatoria:
$\delta _{-1}(t)+\Sigma (-1)^{k} 2\delta _{-1}(t-k)$ con k>0 a infinito
Calcolando la funzione di trasferimento mi trovo:
$\frac{1}{s+1}$
facendo la trasformata di Laplace, moltiplicando segnale in ingresso e funzione di trasferimento e antitrasformando mi trovo che la risposta forzata è
$\delta _{-1}(t)-e^{-t}+\Sigma (-1)^{k} 2\delta _{-1}(t-k)-e^{-(t+k)}$
Ora non so come agire per la risposta a regime permanente, potrei usare lo sviluppo in serie di Fourier e usare la formula per l'ingresso sinusoidale ma in teoria nel corso non sarebbe necessario utilizzare Fourier.
Mi servirebbe una mano, grazie in anticipo
Risposte
Quell'onda quadra in ingresso si rappresenta cosi' secondo Laplace:
$-1+2 (1-e^{-s})/s \ \sum_i e^{-2si}$
Poi la puoi moltiplicare per la funzione di trasferimento, ma il tutto non si semplifica molto.
PS Non usare la delta $\delta$ per la funzione gradino di Heaviside, la $\delta$ e' riservata per la ... delta di Dirac.
$-1+2 (1-e^{-s})/s \ \sum_i e^{-2si}$
Poi la puoi moltiplicare per la funzione di trasferimento, ma il tutto non si semplifica molto.
PS Non usare la delta $\delta$ per la funzione gradino di Heaviside, la $\delta$ e' riservata per la ... delta di Dirac.
Grazie per l'aiuto, per quanto riguarda la risposta a regime permanente invece non hai suggerimenti?
Ti ricordo che la risposta di un sistema $y(t)$ può essere vista sia come somma della risposta libera a quella forzata, sia come somma della risposta in regime transitorio a quella in regime permanente ($y(t)$ per $t->\infty$).
Grazie!
Antitrasformando Laplace si può trovare la soluzione in termini di una serie infinita di andamenti esponenziali traslati nel tempo, ma a causa delle "code" degli stessi non è semplice riconoscere l'andamento in regime permanente (che esiste perché il sistema è asintoticamente stabile).
Ti suggerisco di porti all'istante t=2n con n grande. Sia X(2n) lo stato (incognito) del sistema in tale istante. A questo punto puoi calcolare l'evoluzione dello stesso fino a t=2n+2 come somma degli andamenti dovuti allo stato iniziale e all'ingresso u(t) nell'intervallo (2n, 2n+2) e trovare X(2n+2). Poiché il sistema è in regime permanente dovrà risultare X(2n+2) = X(2n) il che ti permette di determinare lo stato iniziale X(2n) e quindi l'andamento a regime.
Alcune osservazioni:
1) Dovresti trovare che a regime x2(t) = 0 e quindi y=x1(t)
2) Il valore di x1(2n) determinato con il metodo di cui sopra può essere verificato controllando che con tale valore risulti nullo il valor medio di x1(t) nell'intervallo (2n, 2n+2), come si desume dall'analisi armonica
3) Il metodo di cui sopra può essere applicato con qualche variante anche per determinare la risposta a stato zero in transitorio. In tal caso si ottiene una relazione tra X(2i) e X(2i+2) in termini di equazione alle differenze di cui X(2i) = X(2i+2) rappresenta la ricerca del punto fisso di regime.
Ti suggerisco di porti all'istante t=2n con n grande. Sia X(2n) lo stato (incognito) del sistema in tale istante. A questo punto puoi calcolare l'evoluzione dello stesso fino a t=2n+2 come somma degli andamenti dovuti allo stato iniziale e all'ingresso u(t) nell'intervallo (2n, 2n+2) e trovare X(2n+2). Poiché il sistema è in regime permanente dovrà risultare X(2n+2) = X(2n) il che ti permette di determinare lo stato iniziale X(2n) e quindi l'andamento a regime.
Alcune osservazioni:
1) Dovresti trovare che a regime x2(t) = 0 e quindi y=x1(t)
2) Il valore di x1(2n) determinato con il metodo di cui sopra può essere verificato controllando che con tale valore risulti nullo il valor medio di x1(t) nell'intervallo (2n, 2n+2), come si desume dall'analisi armonica
3) Il metodo di cui sopra può essere applicato con qualche variante anche per determinare la risposta a stato zero in transitorio. In tal caso si ottiene una relazione tra X(2i) e X(2i+2) in termini di equazione alle differenze di cui X(2i) = X(2i+2) rappresenta la ricerca del punto fisso di regime.
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