[ Teoria dei sistemi e Controlli automatici ]esercizio su calcolo matrice di transizione
Buongiorno . Ho eseguito questo tipo di esercizio per la prima volta .
Sono riuscito ad arrivare alla matrice modale pero' non riesco a calcolare gli autovettori .
Mi servirebbe qualcuno che gli dia un'occhiata e verifica se il ragionamento eseguito e' giusto .
Per favore , datemi un'aiuto ..
Svolgimento esercizio:
$ dot(x) =( ( 1 , 1 , 1 ),( 0 , -1 , 1 ),( 0 , 0 ,2 ) ) x+ ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) *u $
$ y= ( 1 \ \ 0 \ \ 1 ) x$
(questo è un sistema strettamente proprio perché’ non compare u(t) , non c’è dipendenza esplicita dell’uscita y(t) dell’ingresso u(t)
La matrice di stato è la seguente :
$ F = ( ( 1 , 1 , 2 ),(0 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
L’obiettivo è quello di calcolare la matrice esponenziale di F , e^Ft è definita nel seguente modo :
$ e^Ft=I+Ft+1/(2!)(Ft)^2+1/(3!)(Ft)^3...$
Mi calcolo gli auto valori della matrice .
Il determinate $ det(F-lambda I) = det(F)= -2$
Il polinomio caratteristico e’ : $ -lambda ^3+2lambda ^2+lambda -2=0 $
Le radici sono : $ lambda _1=2 , lambda _2=-1,lamda_3=1$
Mi calcolo gli auto valori per ognuna delle radici :
( Non scrivo tutti passaggi per questioni di spazio )
$ nu _1=(7,1,3) , nu _2=(-1,2,0),nu _3=(1,0,0) $
Finalmente mi posso calcolare la matrice esponenziale e^FT usando la forma canonica di Jordan e la matrice modale .
$ F = ( ( 1 , 1 , 2 ),(0 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
Conosciamo gli auto valori di questa matrice e sono reali e distinti . Noti gli auto valori , possiamo andare a determinare la forma canonica di Jordan equivalente ad F : essendo F una matrice di ordine 3 e avendo trovato 3 auto valori reali e distinti , la matrice di Jordan sarà una matrice di ordine 3 avente mini blocchi coincidenti con i tre auto valori .
$ J=( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0, 1 ) ) $
A questo punto mi calcolo l’esponenziale di questa matrice :
$e^(jt)=( ( e^(2t) , 0 , 0 ),(0 , e^(-t) , 0 ),( 0 ,0 , e^(t) ) )$
A questo punto l’obiettivo e’ l’applicazione della relazione $ e^(Ft) = Me^(jt)*M^(-1)$ , per cui devo individuare la matrice Modale e successivamente la sua inversa .
A questo scopo , dobbiamo trovare gli auto vettori associati ai due auto vettori della matrice F.
L’auto valore associato all’auto valore :
$ (lambda I- F)x=0$
Applicando questa formula , la forma estesa è la seguente :
$2*( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) -( ( 1 , 1 , 2),( 0 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 2 ) ) *( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ) ) =( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) =
| ( x_1 , -x_2-2 , x_3 ),( , 3x_2 ,-x_3 ),( , 0 , ) |$
Lo stesso discorso per $lamda_2=-1$ e risulta :
$| ( -2x_1 , -x_2 , -2x_3 ),( , -x_3 , ),( , -3x_3 , ) |$
Per $ lambda_3 = 1 $ , vale : $| ( -x_2 , , -2x_3 ),( 2x_2 , ,-x_3 ),( , -x_3 , ) | $
A questo punto NON riesco ad andare avanti perché non riesco a calcolarmi gli
Auto vettori associati della matrice modale :
MI aiutate per favore ?
Sono riuscito ad arrivare alla matrice modale pero' non riesco a calcolare gli autovettori .
Mi servirebbe qualcuno che gli dia un'occhiata e verifica se il ragionamento eseguito e' giusto .
Per favore , datemi un'aiuto ..
Svolgimento esercizio:
$ dot(x) =( ( 1 , 1 , 1 ),( 0 , -1 , 1 ),( 0 , 0 ,2 ) ) x+ ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) *u $
$ y= ( 1 \ \ 0 \ \ 1 ) x$
(questo è un sistema strettamente proprio perché’ non compare u(t) , non c’è dipendenza esplicita dell’uscita y(t) dell’ingresso u(t)
La matrice di stato è la seguente :
$ F = ( ( 1 , 1 , 2 ),(0 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
L’obiettivo è quello di calcolare la matrice esponenziale di F , e^Ft è definita nel seguente modo :
$ e^Ft=I+Ft+1/(2!)(Ft)^2+1/(3!)(Ft)^3...$
Mi calcolo gli auto valori della matrice .
Il determinate $ det(F-lambda I) = det(F)= -2$
Il polinomio caratteristico e’ : $ -lambda ^3+2lambda ^2+lambda -2=0 $
Le radici sono : $ lambda _1=2 , lambda _2=-1,lamda_3=1$
Mi calcolo gli auto valori per ognuna delle radici :
( Non scrivo tutti passaggi per questioni di spazio )
$ nu _1=(7,1,3) , nu _2=(-1,2,0),nu _3=(1,0,0) $
Finalmente mi posso calcolare la matrice esponenziale e^FT usando la forma canonica di Jordan e la matrice modale .
$ F = ( ( 1 , 1 , 2 ),(0 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
Conosciamo gli auto valori di questa matrice e sono reali e distinti . Noti gli auto valori , possiamo andare a determinare la forma canonica di Jordan equivalente ad F : essendo F una matrice di ordine 3 e avendo trovato 3 auto valori reali e distinti , la matrice di Jordan sarà una matrice di ordine 3 avente mini blocchi coincidenti con i tre auto valori .
$ J=( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0, 1 ) ) $
A questo punto mi calcolo l’esponenziale di questa matrice :
$e^(jt)=( ( e^(2t) , 0 , 0 ),(0 , e^(-t) , 0 ),( 0 ,0 , e^(t) ) )$
A questo punto l’obiettivo e’ l’applicazione della relazione $ e^(Ft) = Me^(jt)*M^(-1)$ , per cui devo individuare la matrice Modale e successivamente la sua inversa .
A questo scopo , dobbiamo trovare gli auto vettori associati ai due auto vettori della matrice F.
L’auto valore associato all’auto valore :
$ (lambda I- F)x=0$
Applicando questa formula , la forma estesa è la seguente :
$2*( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) -( ( 1 , 1 , 2),( 0 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 2 ) ) *( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ) ) =( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) =
| ( x_1 , -x_2-2 , x_3 ),( , 3x_2 ,-x_3 ),( , 0 , ) |$
Lo stesso discorso per $lamda_2=-1$ e risulta :
$| ( -2x_1 , -x_2 , -2x_3 ),( , -x_3 , ),( , -3x_3 , ) |$
Per $ lambda_3 = 1 $ , vale : $| ( -x_2 , , -2x_3 ),( 2x_2 , ,-x_3 ),( , -x_3 , ) | $
A questo punto NON riesco ad andare avanti perché non riesco a calcolarmi gli
Auto vettori associati della matrice modale :
MI aiutate per favore ?
Risposte
Scusami, è un po' lungo a faccio fatica a leggere tutto quanto; qual è la matrice di cui di serve cercare autovalori e autovettori?
Se hai una matrice triangolare:
puoi notare che gli autovalori sono gli elementi della diagonale principale.
Per cercare, ad esempio, l'autovettore relativo all'autovalore $lambda=2$, si risolve il seguente sistema lineare omogeneo:
scegliendo come incognita libera $y$, si ottiene
Quindi un vettore soluzione del sistema lineare omogeneo è
quindi un autovettore per l'autovalore $lambda=2$ è (ad esempio per $y=1$)
Se hai una matrice triangolare:
$ F = ( ( 1 , 1 , 2 ),(0 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
puoi notare che gli autovalori sono gli elementi della diagonale principale.
Per cercare, ad esempio, l'autovettore relativo all'autovalore $lambda=2$, si risolve il seguente sistema lineare omogeneo:
$ (F-2I) barv=bar0$
$hArr = ( ( -1 , 1 , 2 ),(0 , -3 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) )((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$
$hArr = ( ( -1 , 1 , 2 ),(0 , -3 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) )((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$
scegliendo come incognita libera $y$, si ottiene
${ ( y in RR ),( z=3y ),(x=y+2z=y+6y=7y):} hArr { ( x=7y ),( y in RR ),(z=3y):}$
Quindi un vettore soluzione del sistema lineare omogeneo è
$ ((x),(y),(z))= ((7y),(y),(3y))=y((7),(1),(3))$
quindi un autovettore per l'autovalore $lambda=2$ è (ad esempio per $y=1$)
$((7),(1),(3))$
Ok. grazie per aver risposto.
Ci sono quasi , mi serve ancora un piccolo aiuto.
faccio un esempio :
$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) -( ( 1 , 1 , 2),( 0 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 2 ) ) *( ( x ),( y ),( z ) ) =( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
corrisponde a :
$ ( ( 0 , -1 , -2),( 0 , 2 , -1 ),(0,0,-1)) *( ( x ),( y ),( z ) ) = $
Il risultato sono tre sistemi in tre incognite :
$ { ( -y-2z=0 ),( 2y-z=0 ),( -z=0 ):} $
A questo punto mi perdo . Da questo sistema devo trovare l'autovettore .
Devo utilizzare il metodo della sostituzione ?
Magma , ti sembra corretto un autovettore del tipo .. $ nu _1=(0 ,0 ,0 ) .... $
(E' un problema di coefficienti ....non capisco quali sono i coefficienti giusti per determinare il vettore .)
Ci sono quasi , mi serve ancora un piccolo aiuto.
faccio un esempio :
$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) -( ( 1 , 1 , 2),( 0 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 2 ) ) *( ( x ),( y ),( z ) ) =( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
corrisponde a :
$ ( ( 0 , -1 , -2),( 0 , 2 , -1 ),(0,0,-1)) *( ( x ),( y ),( z ) ) = $
Il risultato sono tre sistemi in tre incognite :
$ { ( -y-2z=0 ),( 2y-z=0 ),( -z=0 ):} $
A questo punto mi perdo . Da questo sistema devo trovare l'autovettore .
Devo utilizzare il metodo della sostituzione ?
Magma , ti sembra corretto un autovettore del tipo .. $ nu _1=(0 ,0 ,0 ) .... $
(E' un problema di coefficienti ....non capisco quali sono i coefficienti giusti per determinare il vettore .)
"polid":
[autovettori per $lambda=1$]
$(1-F)= [( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) -( ( 1 , 1 , 2),( 0 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 2 ) ) ]( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ) ) =( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) )$
corrisponde a :
$ ( ( 0 , -1 , -2),( 0 , 2 , -1 ),(0,0,-1)) ( ( x),( y ),( z ) ) = ((0),(0),(0))$
A questo punto mi perdo
I metodi per risolvere un sistema lineare sono vari; io, in genere, uso l'algoritmo di Gauss:
e il sistema di partenza è equivalente a quello avente la matrice ridotta per righe
$ ( ( 0 , -1 ,0),( 0 ,0 , 0 ),(0,0,-1)) ( ( x ),( y ),( z ) ) = ((0),(0),(0))$
le cui soluzioni sono
${ ( x in RR ),( y=0 ),( z=0 ):} hArr ((x),(0),(0))=x((1),(0),(0))$
infatti dal teorema di Kronecker-Rouché-Capelli sappiamo che un sistema in $2$ equazioni (indipendenti) e $3$ incognite, ha $oo^(3-2)=oo^1$ soluzioni.
Infine, un [nota]Tutti i multipli di $((1),(0),(0))$ sono autovettori relativi al medesimo autovalore![/nota] candidato autovettore è
$((1),(0),(0))$
"polid":
Magma , ti sembra corretto un autovettore del tipo .. $ nu _1=(0 ,0 ,0 ) .... $
Mai! Un autovettore è non nullo per definizione.
Grazie Magma
Devo imparare anche io l'algoritmo di Gauss .
Non deve essere difficile .
Devo imparare anche io l'algoritmo di Gauss .
Non deve essere difficile .
Prego, comunque ho fatto delle correzioni al post precedente. 
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