[Teoria dei sistemi] Dubbio digramma della fase
Buon pomeriggio, ho un dubbio sul seguente esercizio in cui devo disegnare i diagrammi di Bode:
\(\displaystyle F(s) = 40 \frac{s-0.5}{ (s+1)(s+4)} \)
Prima di iniziare porto la \(\displaystyle F(s) \) in forma canonica di Bode:
\(\displaystyle 40 * (-0.5) * \frac{ 1+\frac{s}{-0.5} }{ (1+s)4*(\frac{s}{4}+1)} = -5 \frac{ 1+\frac{s}{-0.5} }{ (1+s)(1+\frac{s}{4})} \)
Il diagramma del modulo mi viene bene, quindi non lo descrivo.
Per quello della fase, ho:
1) Il guadagno è \(\displaystyle -5 \) (mettendo s = 0 nella F(s), trovo appunto -5). E' negativo quindi parto da -180°.
2) Zero --> \(\displaystyle (1+\frac{s}{-0.5}) \) con \(\displaystyle \tau = \frac{1}{-0.5} \) e \(\displaystyle w = \frac{1}{|\tau|} = 0.5 \) dove la decade prima = 0.05 e la decade dopo è = 5. Essendo uno zero con \(\displaystyle \tau < 0 \) scendo a -45°/dec
3) Polo --> \(\displaystyle (1+s) \) con \(\displaystyle \tau = 1 \) e \(\displaystyle w = 1 \) dove la decade prima = 0.1 e la decade dopo è = 10. Essendo un polo con \(\displaystyle \tau > 0 \) scendo a -45°/dec.
4) Polo --> \(\displaystyle (1+\frac{s}{4}) \) con \(\displaystyle \tau = \frac{1}{4} \) e \(\displaystyle w = 4 \) dove la decade prima = 0.4 e la decade dopo è = 40. Essendo un polo con \(\displaystyle \tau > 0 \) scendo a -45°/dec.
Descrivo il grafico della fase:
Parto da -180° (per il -5), continuo in linea retta fino a che incontro 0.05 che mi fa scendere di -45°/dec fino a 0.1 (arrivo a -225°). Da 0.1 scendo di -90°/dec (contributo dello zero e del polo) fino a 0.4 (arrivando quindi a -315°).
Da 0.4 ho tutti e 3 i contributi quindi scendo di -135°/dec fino a 4 (arrivando a -450°). Da 4 ho ancora tutti i contributi quindi scendo ancora di -135°/dec fino a 5 (arrivando a -585°).
Da 5 il contributo dello zero scompare quindi scendo di -90°/dec fino a 10 (arrivando a -675°).
Infine da 10 il contributo del polo scompare quindi scendo di -45°/dec fino a 40 (arrivando a -720°).
A me sembra giusto ma ovviamente non lo è perchè applicando la formula:
\(\displaystyle (\sharp poli - \sharp zeri)(-90) = (2-1)*(-90) = -90° \)
Dovrei arrivare alla fine a -90° non a -720°.
Facendo con Wolfram la prova si vede che parte da +180° ma perchè? Il guadagno è negativo devo partire da -180°.
Arriva a -90° come da formula.
Dove sbaglio? Sapreste spiegarmelo?
Scusate per il post lungo ma spero abbiate la pazienza di leggerlo per indicarmi dove sbaglio.
Grazie delle eventuali risposte.
\(\displaystyle F(s) = 40 \frac{s-0.5}{ (s+1)(s+4)} \)
Prima di iniziare porto la \(\displaystyle F(s) \) in forma canonica di Bode:
\(\displaystyle 40 * (-0.5) * \frac{ 1+\frac{s}{-0.5} }{ (1+s)4*(\frac{s}{4}+1)} = -5 \frac{ 1+\frac{s}{-0.5} }{ (1+s)(1+\frac{s}{4})} \)
Il diagramma del modulo mi viene bene, quindi non lo descrivo.
Per quello della fase, ho:
1) Il guadagno è \(\displaystyle -5 \) (mettendo s = 0 nella F(s), trovo appunto -5). E' negativo quindi parto da -180°.
2) Zero --> \(\displaystyle (1+\frac{s}{-0.5}) \) con \(\displaystyle \tau = \frac{1}{-0.5} \) e \(\displaystyle w = \frac{1}{|\tau|} = 0.5 \) dove la decade prima = 0.05 e la decade dopo è = 5. Essendo uno zero con \(\displaystyle \tau < 0 \) scendo a -45°/dec
3) Polo --> \(\displaystyle (1+s) \) con \(\displaystyle \tau = 1 \) e \(\displaystyle w = 1 \) dove la decade prima = 0.1 e la decade dopo è = 10. Essendo un polo con \(\displaystyle \tau > 0 \) scendo a -45°/dec.
4) Polo --> \(\displaystyle (1+\frac{s}{4}) \) con \(\displaystyle \tau = \frac{1}{4} \) e \(\displaystyle w = 4 \) dove la decade prima = 0.4 e la decade dopo è = 40. Essendo un polo con \(\displaystyle \tau > 0 \) scendo a -45°/dec.
Descrivo il grafico della fase:
Parto da -180° (per il -5), continuo in linea retta fino a che incontro 0.05 che mi fa scendere di -45°/dec fino a 0.1 (arrivo a -225°). Da 0.1 scendo di -90°/dec (contributo dello zero e del polo) fino a 0.4 (arrivando quindi a -315°).
Da 0.4 ho tutti e 3 i contributi quindi scendo di -135°/dec fino a 4 (arrivando a -450°). Da 4 ho ancora tutti i contributi quindi scendo ancora di -135°/dec fino a 5 (arrivando a -585°).
Da 5 il contributo dello zero scompare quindi scendo di -90°/dec fino a 10 (arrivando a -675°).
Infine da 10 il contributo del polo scompare quindi scendo di -45°/dec fino a 40 (arrivando a -720°).
A me sembra giusto ma ovviamente non lo è perchè applicando la formula:
\(\displaystyle (\sharp poli - \sharp zeri)(-90) = (2-1)*(-90) = -90° \)
Dovrei arrivare alla fine a -90° non a -720°.
Facendo con Wolfram la prova si vede che parte da +180° ma perchè? Il guadagno è negativo devo partire da -180°.
Arriva a -90° come da formula.
Dove sbaglio? Sapreste spiegarmelo?
Scusate per il post lungo ma spero abbiate la pazienza di leggerlo per indicarmi dove sbaglio.
Grazie delle eventuali risposte.
Risposte
Il diagramma di fase del tuo zero reale positivo: (s-0.5) è riportato di seguito, insieme a quello di modulo:
La fase varia da 180ᵒ a 90ᵒ essendo la funzione complessa relativa: (jω-0.5)
Se provi a combinarlo con quello dei due poli reali successivi otterrai il diagramma di fase corretto.
La fase varia da 180ᵒ a 90ᵒ essendo la funzione complessa relativa: (jω-0.5)
Se provi a combinarlo con quello dei due poli reali successivi otterrai il diagramma di fase corretto.
Grazie della risposta.
Non ho capito perchè.
Se fosse solo lo zero (s-0.5), devo comunque portarlo nella forma canonica di Bode -> \(\displaystyle -0.5 (1+\frac{s}{-0.5}) \)
Ed il fattore costante è: \(\displaystyle -0.5 \) che è < 0.
Dalla teoria, la fase del fattore costante:
Il contributo per la fase è nullo se k > 0 (quindi 0°) mentre è pari a -180° se k < 0.
Quindi qui dovrei partire da -180°.
Grazie ancora.
La fase varia da 180ᵒ a 90ᵒ essendo la funzione complessa relativa: (jω-0.5)
Non ho capito perchè.
Se fosse solo lo zero (s-0.5), devo comunque portarlo nella forma canonica di Bode -> \(\displaystyle -0.5 (1+\frac{s}{-0.5}) \)
Ed il fattore costante è: \(\displaystyle -0.5 \) che è < 0.
Dalla teoria, la fase del fattore costante:
Il contributo per la fase è nullo se k > 0 (quindi 0°) mentre è pari a -180° se k < 0.
Quindi qui dovrei partire da -180°.
Grazie ancora.
Il punto: -0.5 nel piano complesso può essere rappresentato con un numero di modulo 0.5 e fase +180ᵒ oppure -180ᵒ. I due numeri complessi coincidono. Nella rappresentazione della tua funzione potresti quindi considerare la fase inizialmente pari a -180ᵒ se la sua evoluzione fosse in verso antiorario e cioè verso valori meno negativi: ma non è il tuo caso. Prova infatti ad analizzare la funzione: (jω-0.5) dal punto di vista matematico.
Quando ω=0, ha modulo= 0.5 e fase pari a +180ᵒ (coincidente con -180ᵒ).
Quando ω tende a infinito, ha modulo che tende a infinito e fase che tende a +90ᵒ.
La fase è diminuita di 90ᵒ.
Se ripeti il calcolo per i valori intermedi troverai esattamente i diagrammi di modulo e fase riportati nel mio Post precedente.
Quando ω=0, ha modulo= 0.5 e fase pari a +180ᵒ (coincidente con -180ᵒ).
Quando ω tende a infinito, ha modulo che tende a infinito e fase che tende a +90ᵒ.
La fase è diminuita di 90ᵒ.
Se ripeti il calcolo per i valori intermedi troverai esattamente i diagrammi di modulo e fase riportati nel mio Post precedente.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo