[Teoria dei sistemi] Dubbi sull'evoluzione libera

[Parlu10]

Buongiorno a tutti, ho un dubbio su questo esercizio di Teoria dei Sistemi. Sono piuttosto sicuro che sia qualcosa di piuttosto banale per chiunque ne capisca qualcosa di Automatica.

L'esercizio chiede, partendo da una matrice dinamica, di studiare la risposta libera:

$ ( ( 1 , 0, 1),( -2, -1, -1),( 2, 2, 0) ) $

Ho iniziato cercando gli autovalori che sono:

$ lambda_1=0
lambda_2=1
lambda_3=-1 $

Quindi ho trovato i vettori destri

$ u_1=(-1,1,1),
u_2=(1,-1,0),
u_3=(-1,0,2) $

Da questi ho ricavato la matrice T, in modo che invertendola potessi trovare gli autovettori sinistri.

$ v_1=(2,2,1),
v_2=(2,1,1),
v_3=(-1,-1,0) $

Tuttavia, il vettore v_3 è diverso da quello che propone il libro, che è (1,1,0).
Penso questo sia dovuto al fatto che il libro disponga gli autovettori destri all'interno della matrice T in modo diverso a come ho fatto io, quindi andando a fare l'inversa qualche valore è uscito leggermente diverso.

Dunque, il mio dubbio è:
Il mio procedimento è comunque giusto?
Gli autovettori possono essere disposti in qualunque ordine o c'è un ordine preciso in cui devono essere messi all'interno delle matrici?

Grazie in anticipo per l'aiuto.

[Quinzio]

Attento ! Non c'entra la disposizione degli autovettori.

Il motivo, e' che, quando hai trovato un autovettore $\bb v$ relativo ad un autovalore, anche tutti i vettori $k \bb v, k \in \RR$ sono autovettori di quell'autovalore.

Mi spiego: hai trovato $(-1, -1, 0)$ come autovettore.

Allora anche $-1 \cdot (-1, -1, 0) = (1,1,0)$ e' un autovettore (sempre relativo allo stesso autovalore).

L'autovettore identifica lo spazio vettoriale a cui appartiene, e tutti i vettori di quello spazio sono autovettori.

Il libro ha riportato $(1,1,0)$ come autovettore perche' "piu' pulito", nel senso che non ha i segni meno.

[Parlu10]

Ho capito, grazie mille!