[Teoria dei sistemi] Diagramma di Bode della fase del ritardo di tempo
Il sistema "ritardo di tempo", definito dalla relazione
\(\displaystyle y(t) = u(t - \tau) \)
ha come funzione di trasferimento
\(\displaystyle G(s) = e^{-\tau s}\)
e quindi, come risposta in frequenza
\(\displaystyle G(j \omega) = e^{-j \omega \tau} \).
Volendo tracciare il diagramma di Bode per quest'ultima, si ha che per il diagramma del modulo risulta
\(\displaystyle |G(j \omega)|_{dB} = 0, \forall \omega. \)
Il diagramma si riduce, in sostanza, a una retta di ordinata nulla per ogni pulsazione. Fin qui, tutto chiaro.
Per quanto riguarda il diagramma della fase, invece, si ha che:
\(\displaystyle \arg(G(j\omega)) = \frac{-180\omega \tau}{\pi} \)
La divisione per $\pi$ è fatta in modo tale che i valori sul diagramma siano riportati in gradi.
Riportando questa affermazione del mio libro:
Il diagramma della fase è in funzione della pulsazione normalizzata $\omega\tau$. Si osservi che in questo caso la fase ha un andamento lineare in $\omega$ e quindi l'uso di una scala logaritmica genera una curva con andamento esponenziale.
Quello che non capisco è perché l'uso di una scala logaritmica genera una curva con andamento esponenziale? Come si giustifica questo?
Grazie a chi vorrà rispondere.
\(\displaystyle y(t) = u(t - \tau) \)
ha come funzione di trasferimento
\(\displaystyle G(s) = e^{-\tau s}\)
e quindi, come risposta in frequenza
\(\displaystyle G(j \omega) = e^{-j \omega \tau} \).
Volendo tracciare il diagramma di Bode per quest'ultima, si ha che per il diagramma del modulo risulta
\(\displaystyle |G(j \omega)|_{dB} = 0, \forall \omega. \)
Il diagramma si riduce, in sostanza, a una retta di ordinata nulla per ogni pulsazione. Fin qui, tutto chiaro.
Per quanto riguarda il diagramma della fase, invece, si ha che:
\(\displaystyle \arg(G(j\omega)) = \frac{-180\omega \tau}{\pi} \)
La divisione per $\pi$ è fatta in modo tale che i valori sul diagramma siano riportati in gradi.
Riportando questa affermazione del mio libro:
Il diagramma della fase è in funzione della pulsazione normalizzata $\omega\tau$. Si osservi che in questo caso la fase ha un andamento lineare in $\omega$ e quindi l'uso di una scala logaritmica genera una curva con andamento esponenziale.
Quello che non capisco è perché l'uso di una scala logaritmica genera una curva con andamento esponenziale? Come si giustifica questo?
Grazie a chi vorrà rispondere.
Risposte
Se hai una funzione y=ax e vuoi usare come ascissa una variabile $u=log_{10} x$, avrai che
$y=a\ 10^{log x}$
non credi?
$y=a\ 10^{log x}$
non credi?
Ok, ma $a10^{log(x)}$ ha lo stesso grafico di $ax$, che è una retta (per la proprietà dell'esponenziale ritorno in questa forma), quindi cosa cambia?
"CosenTheta":
Ok, ma $a10^{log(x)}$ ha lo stesso grafico di $ax$...
Chiaramente, non l'abbiamo messa in quella forma per poi tornare alla forma originale y(x), ma per andare a scrivere la funzione nella nuova variabile indipendente $u$
$y(u)=a 10^u$
Grazie.
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