[Teoria dei Segnali] Uscita di un filtro

[raissa95]

Ciao ragazzi, dopo domani ho un esame e avrei tanto bisogno del vostro aiuto. Mi trovo di fronte a questo esercizio:



Sono riuscita a trovare i coefficienti di Fourier ma non riesco a fare il secondo punto!
Il professore ha postato la soluzione (ve la posto tutta, anche la parte relativa al primo punto nel caso vi serva) ma è così sintetica (la parte del secondo punto che non so fare) che non ho capito, ecco a voi:



Ho provato a pensare in tutti i modi ma proprio non capisco come si faccia. Mi sono bloccata al secondo punto, a due righe dalla fine. Anche provando ad ottenere V(f) come prodotto di X(f) e H(f) non mi viene quello che c'è scritto lì. Mi sfugge qualche formula? Qualche ragionamento? Potreste spiegarmi passo passo le ultime righe relative al secondo punto? Come si fa a trovare l'uscita a un filtro? Vorrei capire i ragionamenti che ha utilizzato il prof, in modo da utilizzarli anche negli altri compiti e vedere se riesco a risolverli... Strade diverse mi confonderebbero di più... Potete aiutarmi per favore? Grazie in anticipo, sareste la mia salvezza.

[Sinuous]

Il filtro descritto agisce come una “funzione porta” a banda variabile: lascia cioè passare tutti i segnali presenti nella propria banda escludendo gli altri.
Come filtro quindi garantisce una amplificazione unitaria costante con banda monolaterale compresa fra $1/T$ e $1/(2T)$, estremi esclusi, senza aggiunta di contributo di fase. L’amplificazione è zero altrove.
Questo significa che lascia quindi passare inalterata la componente continua e la prima armonica della serie di Fourier in caso di banda minima ($f > 1/T$) e arriva fino ad escludere la seconda componente armonica nel caso di banda massima ($f < 2/T$): in sostanza lascia passare solo la componente continua ($uo$) e la prima armonica ($u1, u-1$) in entrambi i casi. Il filtro stesso non aggiunge contributo di fase, quindi in uscita il segnale compreso nella sua banda, avrà il contributo di fase dello stesso segnale in ingresso.

[raissa95]

"Sinuous":Il filtro descritto agisce come una “funzione porta” a banda variabile: lascia cioè passare tutti i segnali presenti nella propria banda escludendo gli altri.
Come filtro quindi garantisce una amplificazione unitaria costante con banda monolaterale compresa fra $1/T$ e $1/(2T)$, estremi esclusi, senza aggiunta di contributo di fase. L’amplificazione è zero altrove.
Questo significa che lascia quindi passare inalterata la componente continua e la prima armonica della serie di Fourier in caso di banda minima ($f > 1/T$) e arriva fino ad escludere la seconda componente armonica nel caso di banda massima ($f < 2/T$): in sostanza lascia passare solo la componente continua ($uo$) e la prima armonica ($u1, $u-1,) in entrambi i casi. Il filtro stesso non aggiunge contributo di fase, quindi in uscita il segnale compreso nella sua banda, avrà il contributo di fase dello stesso segnale in ingresso.

Ciao, allora ho capito la prima parte del tuo messaggio e in generale dall'altro giorno ho fatto dei passi avanti. Quello che però ancora non capisco è come fare a capire quali componenti (u0,u1 ecc...) prendere a seconda dell'intervallo in cui mi ritrovo.
Tipo tu mi hai detto che nel mio caso dovrei prendere uo, u1 e u-1 ma non ho capito perchè. Potresti spiegarmelo per favore?

[Sinuous]

Per un segnale periodico di periodo $T$, la componente di prima armonica ha coefficiente $u1$ (e $u-1$ per la parte sinistra dello spettro) e frequenza $1/T$; la seconda armonica avrà coefficiente $u2$ e frequenza $2/T$; e così via.
Ovviamente la componente continua ha coefficiente $uo$ e frequenza zero.

Tutto questo dipende dalla analisi spettrale del segnale scomposto in serie, e risulta chiaramente nella formulazione di $V(f)$ data nella soluzione.