[Teoria dei Segnali] Trasformata di Fourier

[Fabrufy]

Ciao a tutti, vorrei farvi un domanda riguardo Teoria dei segnali e riguardo una forma di trasformata che capita spessissimo negli esercizi che sto svolgendo, e cioè la moltiplicazione di una retta per una funzione. Mi spiego meglio:

Ho a che fare con esercizi che hanno forma di questo tipo:

$X(f)= (f-5/2T) rect_(1/T)(f-3/T) $


Io nella risoluzione mi comporto considerando che sarà un rettangolo centrato in $3/T$ troncato da una retta di equazione
$ (f-5/2T) $, mi vado a disegnare il tutto e poi graficamente provo a fare la trasformata.

Se ho ben capito per la proprietà di derivazione in frequenza, equivale a dividere per un fattore nel tempo, ed inoltre ogni tipo di queste rette dovrebbe essere uguale al caso di:

$ f rect_(1/T)(f) $ perché tanto la costante non influisce nella derivazione.

Quindi se volessi risalire alla $x(t)$ dovrei semplicemente usare la derivazione, e quindi avrei due impusi di Dirac nei punti di discontinuità del rect ? non riesco proprio a capire come posso trasformare o anti-trasformare il prodotto di una retta per un $rect$ o qualsiasi altra funzione... spero possiate aiutarmi. Come sempre grazie a tutti e ciao!

[Quinzio]

Ok, però la derivazione non va applicata alla trasformata (la funzione di $f$), ma alla $x(t)$, la funzione "temporale".
Prova a scrivere lo svolgimento qui nelle risposte...

[Fabrufy]

Ok! Grazie mille ora scrivo, faccio l'esempio banale $t rect_T(t)$ e se gentilmente puoi dirmi se lo faccio bene (grazie in anticipo):

Faccio la derivata e ottengo: $ d(x)/dt= 1 rect_T(t)$

Poi quindi uso la relazione: $ X(f)= [D(f)]/(j2pif)$

Ottengo quindi:

$ X(f)= T [sinc(pi f T)]/(j2pif) $

è giusto?...

poi quindi ovviamente se tipo avessi qualsiasi altra retta del genere $ t + q$ dovrebbe essere sempre uguale essendo la derivata della costante ininfluente, e se avessi $ rect( t - T) $ sarebbe una traslazione e quindi moltiplicazione per esponenziale..

Grazie mille!

[Quinzio]

Mi sembra che ti stai muovendo in modo un po' confuso e poco sistematico, mentre in matematica quello che serve è applicare metodi e regole.
Si parte dalla funzione "nucleo" e poi da li si fanno modifiche operazioni agendo in modo parallelo sulla antitrasformata.
Il "nucleo" è la funzione $"rect"_(1/T)(f)$, quindi

$F((\sin(\pi t/T))/(\pi t))(f)="rect"_(1/T)(f)$

e applico la derivazione in modo da far spuntare un fattore $f$ a destra.
$F(T^((k)))(f)=(2\pi i f)^k F(T)(f)$

$F(1/(2\pi i)(\pi/T \cos(\pi t/T) \pi t - \pi \sin(\pi t/T))/(\pi^2t^2) )(f)=f\ "rect"_(1/T)(f)$

aggiungo un "$rect$"

$F(1/(2\pi i)(\pi/T \cos(\pi t/T) \pi t - \pi \sin(\pi t/T))/(\pi^2t^2)+(\sin(\pi t/T))/(2 T\pi t) )(f)=(f+1/(2T))\ "rect"_(1/T)(f)$

traslo in frequenza di $3T$ e ottengo la trasformata da cui si parte

$F(e^(6 i \pi f t)[1/(2\pi i)(\pi/T \cos(\pi t/T) \pi t - \pi \sin(\pi t/T))/(\pi^2t^2)+( \sin(\pi t/T))/(2 T \pi t) ])(f)=(f-5/(2T))\ "rect"_(1/T)(f-3/T)$

che rimane da semplificare.