[Teoria dei segnali] Trasf.Fourier -Teorema di Integrazione
Salve ragazzi!
Sto avendo qualche problemino nella comprensione del teorema di integrazione della trasformata di Fourier. In particolare, il teorema ( come sappiamo ) dice che se vogliamo calcolare la trasformata di Fourier di un segnale $y(t)$ che è l'integrale di un altro segnale, questa sarà data da:
$Y(f) = X(f)$ $ / (j2 pi f)$
Naturalmente da punto di vista algebrico si capisce che questa formula non è valida nel caso in cui $X(f)$ abbia un valore finito e diverso da 0 per $f=0$, infatti si ottiene un valore infinito.
Allora si dice che questa formula, che possiamo scrivere pure $j2 pi f Y(f) = X(f)$, è valida per $f=0$ se e solo se $X(0)=0$. Inoltre, il valore $X(0)$ non è altro che l'area sottesa dal segnale $x(t)$. Ciò equivale a dire che $y(+oo)=X(0)$.
Qualche paragrafo dopo e dopo aver introdotto la funzione generalizzata di Dirac, viene data una nuova espressione completa per il teorema d'integrazione, ovvero:
$ y(t)=int_(-oo)^(t) x(alpha) <=> X(f)$ $/(j2 pi f) + delta(f)X(0)$$/2 $
Sinceramente non riesco a capire il perchè al secondo membro, nel secondo addendo, compaiano sia la delta che $X(0)$. Il prodotto$X(f)delta(f)$ non dovrebbe ritornare il valore $X(0)$? ( Inteso in senso integrale ovviamente)
Inoltre viene detto che nel caso in cui è applicabile il teorema di integrazione incompleto, ovvero quando $X(0)=0$, il secondo addendo scompare. Mentre, quando il teorema non è applicabile, ovvero $X(0)!=0$, la funzione $y(t)$ non tende a 0 per $t->+oo$, bensì verso il valore finito $X(0)$, quindi il secondo termine rende conto della componente continua pari a $X(0)$ $/2$ che è presente per questo $y(t)$.
Sinceramente ci ho riflettuto un po, ma credo di non averci capito niente!
Insomma, nel caso in cui il segnale sottende area nulle, si ottiene lo stesso risultato del teorema incompleto, ovvero un valore indeterminato $0/0$ o sbaglio??
Quando invece l'area non è nulla, non si ottiene la stessa quantità indeterminata sommata al secondo addendo? Che senso ha tutta questa cosa?
Scusate ma ho le idee confuse
Sto avendo qualche problemino nella comprensione del teorema di integrazione della trasformata di Fourier. In particolare, il teorema ( come sappiamo ) dice che se vogliamo calcolare la trasformata di Fourier di un segnale $y(t)$ che è l'integrale di un altro segnale, questa sarà data da:
$Y(f) = X(f)$ $ / (j2 pi f)$
Naturalmente da punto di vista algebrico si capisce che questa formula non è valida nel caso in cui $X(f)$ abbia un valore finito e diverso da 0 per $f=0$, infatti si ottiene un valore infinito.
Allora si dice che questa formula, che possiamo scrivere pure $j2 pi f Y(f) = X(f)$, è valida per $f=0$ se e solo se $X(0)=0$. Inoltre, il valore $X(0)$ non è altro che l'area sottesa dal segnale $x(t)$. Ciò equivale a dire che $y(+oo)=X(0)$.
Qualche paragrafo dopo e dopo aver introdotto la funzione generalizzata di Dirac, viene data una nuova espressione completa per il teorema d'integrazione, ovvero:
$ y(t)=int_(-oo)^(t) x(alpha) <=> X(f)$ $/(j2 pi f) + delta(f)X(0)$$/2 $
Sinceramente non riesco a capire il perchè al secondo membro, nel secondo addendo, compaiano sia la delta che $X(0)$. Il prodotto$X(f)delta(f)$ non dovrebbe ritornare il valore $X(0)$? ( Inteso in senso integrale ovviamente)
Inoltre viene detto che nel caso in cui è applicabile il teorema di integrazione incompleto, ovvero quando $X(0)=0$, il secondo addendo scompare. Mentre, quando il teorema non è applicabile, ovvero $X(0)!=0$, la funzione $y(t)$ non tende a 0 per $t->+oo$, bensì verso il valore finito $X(0)$, quindi il secondo termine rende conto della componente continua pari a $X(0)$ $/2$ che è presente per questo $y(t)$.
Sinceramente ci ho riflettuto un po, ma credo di non averci capito niente!
Insomma, nel caso in cui il segnale sottende area nulle, si ottiene lo stesso risultato del teorema incompleto, ovvero un valore indeterminato $0/0$ o sbaglio??Quando invece l'area non è nulla, non si ottiene la stessa quantità indeterminata sommata al secondo addendo? Che senso ha tutta questa cosa?
Scusate ma ho le idee confuse
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