[Teoria dei Segnali] Spettro bilatero del prodotto di due segnali

[oStile17]

Ciao ragazzi!

Devo calcolare e disegnare il grafico dello spettro bilatero della funzione $ x(t)=e^(-kt)*u(t) $

Dalla trasformata di Fourier so che la trasformata di un prodotto è uguale al prodotto di convoluzione delle trasformate, ovvero: $ int_(-oo )^(+oo ) (k/(1+j2pi lambda))*1/2delta (f-lambda)+1/(j2pi(f-lambda)) dlambda $

Come lo risolvo? C'è un metodo che mi eviti di calcolare l'integrale? Anche perché non so che valore dovrei dare a $lambda$

Nella soluzione ho $ X(f)=1/(k+j2pif) $

E inoltre, come lo grafico?

Grazie mille ^^

[Exodus1]

Senza passare per la convoluzione, è un integrale abbastanza banale:

\(\int_{0}^{\infty }e^{-kt}e^{-j\omega t}dt=\frac{1}{k+j\omega }\)

[oStile17]

"Exodus":Senza passare per la convoluzione, è un integrale abbastanza banale:

\(\int_{0}^{\infty }e^{-kt}e^{-j\omega t}dt=\frac{1}{k+j\omega }\)

Scusami, come sei arrivato a questo risultato? Lo spettro di ogni singolo segnale non è la sua Trasformata di Fourier?

[Exodus1]

"oStile17":Scusami, come sei arrivato a questo risultato?

Ho applicato semplicemente la definizione di trasformata di Fourier

"oStile17":Lo spettro di ogni singolo segnale non è la sua Trasformata di Fourier?

non ho capito cosa vuoi dire
Hai 2 funzioni, di cui una è un gradino unitario che ai fini del calcolo agisce solamente sugli estremi d'integrazione, guardati meglio come ho scritto l'integrale,sopratutto gli estremi d'integrazione..

[oStile17]

"Exodus":[quote="oStile17"]Scusami, come sei arrivato a questo risultato?

Ho applicato semplicemente la definizione di trasformata di Fourier

"oStile17":Lo spettro di ogni singolo segnale non è la sua Trasformata di Fourier?

non ho capito cosa vuoi dire
Hai 2 funzioni, di cui una è un gradino unitario che ai fini del calcolo agisce solamente sugli estremi d'integrazione, guardati meglio come ho scritto l'integrale,sopratutto gli estremi d'integrazione..[/quote]

Ok ci sono, calcolato l'integrale viene effettivamente il risultato iniziale.

Quindi possiamo dire che la convoluzione tra un segnale e il gradino unitario è la trasformata del segnale però considerando solo t>0? Perché a conti fatti applicando la definizione di TF vado a integrare solo il primo segnale!

Inoltre, come si grafica questo spettro?

Grazie!

[Exodus1]

"oStile17":Inoltre, come si grafica questo spettro?

bhè il risultato è l'inverso di un numero complesso :

\(\frac{1}{z}=\frac{1}{k+j\omega }\)

Quindi moltiplicando sia sopra che sotto per il suo complesso coniugato abbiamo questo risultato:

\(\frac{1}{k+j\omega }\cdot \frac{k-j\omega }{k-j\omega }=\frac{k}{k^{2}+\omega ^{2}}-j\frac{\omega }{k^{2}+\omega ^{2}}\)


Lo tratti come un comune numero complesso, puoi fare un grafico della parte reale, della parte complessa, del modulo etc....