[Teoria dei Segnali] Segnale periodico a dente di sega
Ciao a tutti ragazzi, mi trovo a svolgere il seguente esercizio.
"Sia \(\displaystyle y(t) \) il segnale riportato in figura. Calcolare:
1. l'espressione di \(\displaystyle y(t) \);
2. valore medio, potenza ed energia di \(\displaystyle y(t) \);
3. l'espressione analitica e il grafico dello spettro del segnale \(\displaystyle y(t) \);
4. si consideri il segnale ottenuto troncando \(\displaystyle y(t) \) in un periodo. Calcolare valore medio, energia e potenza del segnale troncato."
[Risoluzione]
1. Il segnale l'ho interpretato così (e Wolfram sembra confermare):
$y(t) = sum_(n = -oo) ^(+oo) [2*"triangle"((t-2Tn)/(2T)) * "rect"((t+T/2-2Tn)/T) + "rect"((t-T/2-2Tn)/T)] $
2. Essendo periodico, sarà ovviamente un segnale di potenza ad energia infinita con potenza $P_y = 5/3$ e valore medio $ = 5/4$.
3. Al punto tre ho applicato la seguente relazione sicuramente nota a tutti:
$Y(f) = sum_(n) C_n \delta(f - nf_0)$ dove i coefficienti $C_n$ si calcolano come $C_n = 1/T_0 * Y(f - nf_0)$ con $T_0 = 2T$ e $f_0 = 1/T_0$. Non la scrivo perchè essendoci un prodotto nel dominio del tempo, avremo una convoluzione nel dominio della frequenza che non so come indicare.
4. Qui ho un dubbio, mi si chiede in sostanza di troncare il segnale in un periodo (per comodità ho preso il segnale centrato nell'origine) e quindi di considerarlo aperiodico. Per trovare energia,potenza e valor medio ho usato le seguenti relazioni:
$ \E_(y_T)= int_(-oo)^(+oo) |y_T(t)|^2 dt $ e mi viene una energia pari a $10/3T$.
La potenza sarà ovviamente nulla.
Analogamente, per il valor medio ho applicato la seguente:
$ = lim_(T -> oo) 1/T int_(-oo)^(+oo) y_T(t) *dt $ e mi risulta un valore medio pari a $5/2$. Quest'ultimo punto è corretto??
"Sia \(\displaystyle y(t) \) il segnale riportato in figura. Calcolare:
1. l'espressione di \(\displaystyle y(t) \);
2. valore medio, potenza ed energia di \(\displaystyle y(t) \);
3. l'espressione analitica e il grafico dello spettro del segnale \(\displaystyle y(t) \);
4. si consideri il segnale ottenuto troncando \(\displaystyle y(t) \) in un periodo. Calcolare valore medio, energia e potenza del segnale troncato."
[Risoluzione]
1. Il segnale l'ho interpretato così (e Wolfram sembra confermare):
$y(t) = sum_(n = -oo) ^(+oo) [2*"triangle"((t-2Tn)/(2T)) * "rect"((t+T/2-2Tn)/T) + "rect"((t-T/2-2Tn)/T)] $
2. Essendo periodico, sarà ovviamente un segnale di potenza ad energia infinita con potenza $P_y = 5/3$ e valore medio $
3. Al punto tre ho applicato la seguente relazione sicuramente nota a tutti:
$Y(f) = sum_(n) C_n \delta(f - nf_0)$ dove i coefficienti $C_n$ si calcolano come $C_n = 1/T_0 * Y(f - nf_0)$ con $T_0 = 2T$ e $f_0 = 1/T_0$. Non la scrivo perchè essendoci un prodotto nel dominio del tempo, avremo una convoluzione nel dominio della frequenza che non so come indicare.
4. Qui ho un dubbio, mi si chiede in sostanza di troncare il segnale in un periodo (per comodità ho preso il segnale centrato nell'origine) e quindi di considerarlo aperiodico. Per trovare energia,potenza e valor medio ho usato le seguenti relazioni:
$ \E_(y_T)= int_(-oo)^(+oo) |y_T(t)|^2 dt $ e mi viene una energia pari a $10/3T$.
La potenza sarà ovviamente nulla.
Analogamente, per il valor medio ho applicato la seguente:
$
Risposte
Il valore medio del segnale troncato, su periodo $2T$, dovrebbe essere uguale al valore medio del segnale periodico.
Ciao Sinuous. Ma quindi devo prendere il segnale troncato in modo che il periodo sia ancora $2T$? Pensavo dovessimo considerarlo aperiodico e calcolare quanto fatto considerando il $lim_(T->oo) 1/T ...$ proprio perchè mi sembrava strano che i punti finali fossero uguali a quelli precedenti!
Ma quindi valore medio ed energia sono uguali a quelli di prima?? e dei punti precedenti che mi dici? sono corretti?
Ma quindi valore medio ed energia sono uguali a quelli di prima?? e dei punti precedenti che mi dici? sono corretti?
Tipicamente, quando il segnale è periodico, per segnale troncato si intende la parte di segnale che si ripete uguale a se stessa (pensa alla trasformata di Fourier di un segnale periodico). Per quanto riguarda i calcoli precedenti non mi pare ci siano errori.
Ho troncato il segnale considerando ancora il periodo come $2T$ e ho calcolato il valore medio del segnale troncato ed è ovviamente uguale al valore medio del segnale periodico. L'energia del segnale troncato sarà ovviamente diversa da $oo$, giusto? Non stiamo più analizzando il segnale come se fosse periodico. In particolare, dovrebbe essere pari a :
$\epsilon = 10/3 T$. E' giusto?
$\epsilon = 10/3 T$. E' giusto?
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