[Teoria dei segnali] Segnale a potenza media nulla, dunque energia finita?
La domanda è molto semplice: se un segnale ha potenza media nulla, cosa si può dire della sua energia? È necessariamente finita?
In altre parole: sicuramente esistono segnali a energia finita non-nulla e potenza media nulla (es. l'esponenziale monolatero). Ma esistono anche segnali a energia infinita e potenza media nulla? Come si dimostra?
Super grazie in anticipo!
In altre parole: sicuramente esistono segnali a energia finita non-nulla e potenza media nulla (es. l'esponenziale monolatero). Ma esistono anche segnali a energia infinita e potenza media nulla? Come si dimostra?
Super grazie in anticipo!
Risposte
Come hai giustamente detto,
se un segnale è di energia, ovvero $\E<\infty$, allora ha potenza media nulla.
Viceversa (spero di non dire sciocchezze ), se un segnale ha potenza media nulla non si può concludere che abbia energia finita. Vediamo:
$P=\lim_{T\to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |s(t)|^2 dt=0$ significa semplicemente che $\int_{-T}^{T} |s(t)|^2 dt$ tende all'$\infty$ più lentamente di $T$, al divergere di $T$.
----
MODIFICA:
mi è stato gentilmente fatto notare che avevo scritto una grossa sciocchezza. Provvedo a correggere, sperando di non fare altri errori.
Un esempio di un segnale a potenza media nulla ma con energia infinita dovrebbe essere $s(t)=\frac{1}{\sqrt{t}} \text{ per } t>=1$. Infatti
$E= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{t} dt=\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{t} dt=[\log |x|]|_{1}^{+\infty}=+\infty$.
Invece la potenza
$P=\lim_{T\to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} \frac{1}{t} dt=\lim_{T\to \infty} \frac{1}{2T} \int_{1}^{T} \frac{1}{t} dt=\lim_{T\to \infty} \frac{\log T}{2T}=0$
se un segnale è di energia, ovvero $\E<\infty$, allora ha potenza media nulla.
Viceversa (spero di non dire sciocchezze
), se un segnale ha potenza media nulla non si può concludere che abbia energia finita. Vediamo:$P=\lim_{T\to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |s(t)|^2 dt=0$ significa semplicemente che $\int_{-T}^{T} |s(t)|^2 dt$ tende all'$\infty$ più lentamente di $T$, al divergere di $T$.
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MODIFICA:
mi è stato gentilmente fatto notare che avevo scritto una grossa sciocchezza. Provvedo a correggere, sperando di non fare altri errori.
Un esempio di un segnale a potenza media nulla ma con energia infinita dovrebbe essere $s(t)=\frac{1}{\sqrt{t}} \text{ per } t>=1$. Infatti
$E= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{t} dt=\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{t} dt=[\log |x|]|_{1}^{+\infty}=+\infty$.
Invece la potenza
$P=\lim_{T\to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} \frac{1}{t} dt=\lim_{T\to \infty} \frac{1}{2T} \int_{1}^{T} \frac{1}{t} dt=\lim_{T\to \infty} \frac{\log T}{2T}=0$
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