[Teoria dei Segnali] Rappresentazione in modulo e fase

[mimo89]

Salve a tutti. Seguo il forum da parecchio e questa volta tocca a me chiedere aiuto. Di recente mi son trovato di fronte un esercizio svolto. Ve ne riporto sotto testo e soluzione proposta. Non nego che mi ha fatto venire dei dubbi sulla rappresentazione dello spettro di ampiezza di un segnale in modulo e fase e vorrei approfittarne per chiudere una volta per tutte la questione. Spero che mi darete una mano!

$ x(t) = cos(2 pi 10^3 t) + 2 sin( 2 pi 10^3 t ) $


Ne faccio la trasformata:

$ x(t) = 1/2 e^{j 2 pi 10^3 t} + 1/2 e^{-j 2 pi 10^2 t} - j e^{j 2 pi 10^3 t}+ j e^{-j 2 pi 10^3 t} $

$ F{x(t)} = 1/2 delta(f - 10^3) + 1/2 delta(f + 10^3)+ e^{- j pi/2} delta(f - 10^3) + e^{j pi/2} delta(f + 10^3) $


Modulo e fase:

$ abs ( X(f) ) = 1/2 delta ( f - 10^3) + 1/2 delta( f + 10^3) + delta(f - 10^3) + delta(f + 10^3) $

$ \angle( X(f) ) = \angle 1/2 delta ( f - 10^3) +\angle 1/2 delta( f + 10^3) +\angle delta(f - 10^3) +\angle delta(f + 10^3) $


Grafico:

[starsuper]

Nel grafico si vede che hai due delte ciascuna di ampiezza 1/2 piu altre due delte di ampiezza. Poiche è il modulo si puo vedere come l"'ampiezza" di un segnale, le due delte si sommano, ecco perche hanno altezza 3/2.