[Teoria dei segnali] Parametri di un segnale determinato
Buonasera, sto tentando di svolgere il mio primo esercizio di teoria dei segnali ma purtroppo ancora non sono riuscito ad entrare nell'ottica della materia..Il testo dell'esercizio (per ora posto solo la prima parte) :
Assegnato il seguente segnale determinato:
dove \(\displaystyle W \) è un parametro reale positivo. determinarne la media, l'energia e la potenza.
Conosco le formule con le quali è possibile ricavare questi valori però non riesco a ricavarne nulla. Qualcuno può indirizzarmi sulla strada giusta da seguire? Grazie infinitamente.
Assegnato il seguente segnale determinato:
\(\displaystyle x(t) = \frac{W}{2} sinc^2(Wt) + cos(6 \pi W t) \)
dove \(\displaystyle W \) è un parametro reale positivo. determinarne la media, l'energia e la potenza.
Conosco le formule con le quali è possibile ricavare questi valori però non riesco a ricavarne nulla. Qualcuno può indirizzarmi sulla strada giusta da seguire? Grazie infinitamente.
Risposte
Provo a postare quello che ho fatto, dunque:
Valore Medio
\(\displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t) dt = \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \left( \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{W}{2} sinc^2(Wt) dt + \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} cos(6 \pi Wt) dt \right) \)
Analizzo singolarmente gli integrali e poi faccio il limite. Quindi, per il primo integrale ho preso spunto dalla dimostrazione della formula di Parseval in cui si esplicita il fattore moltiplicativo \(\displaystyle 1 = e^{-j 2\pi 0 t} \) in modo tale da scriverlo (per definizione) come sviluppo di Fourier , cioè :
\(\displaystyle \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{W}{2} sinc^2(Wt) dt = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{W}{2} sinc^2(Wt) e^{-j 2\pi 0 t} dt = \frac{W}{2} \mathcal{F} \left(sinc^2(Wt) \right)_{f=0} = \frac{W}{2} \frac{1}{W} \bigwedge(\frac{f}{W})_{f=0} \)
Sapendo che la funzione triangolare è definita così :
\(\displaystyle \bigwedge(x) = \begin{cases} 1-|x|, & \mbox{if } |x|<1\\ 0, & \mbox{altrove} \end{cases} \)
Avremo che \(\displaystyle \bigwedge(0) = 1\), pertanto :
\(\displaystyle \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{W}{2} sinc^2(Wt) dt = \frac{1}{2} \)
Per quanto riguarda il secondo integrale, ponendo \(\displaystyle x = 6\pi W t \) si ha un integrale noto cioè :
\(\displaystyle \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} cos(6 \pi Wt) dt ) = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{cos(x)}{6 \pi W} dx = \frac{sen(3 \pi W T) - sen(-3 \pi W T)}{ 6 \pi W} = \frac{sen(3 \pi W T)}{3 \pi W} \)
Infine passando al limite si ha :
\(\displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \left( \frac{1}{2} + \frac{sen(3 \pi W T)}{3 \pi W} \right) = \lim_{T \to +\infty} \frac{3\pi W + sen(3 \pi W T)}{ 6 \pi W T} = 0 \)
Quindi il valor medio è zero. Il procedimento è corretto? Se si posto anche il tentativo di risoluzione dell'integrale per trovare l'energia del segnale che ha la seguente formula generale :
Valore Medio
\(\displaystyle
Analizzo singolarmente gli integrali e poi faccio il limite. Quindi, per il primo integrale ho preso spunto dalla dimostrazione della formula di Parseval in cui si esplicita il fattore moltiplicativo \(\displaystyle 1 = e^{-j 2\pi 0 t} \) in modo tale da scriverlo (per definizione) come sviluppo di Fourier , cioè :
\(\displaystyle \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{W}{2} sinc^2(Wt) dt = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{W}{2} sinc^2(Wt) e^{-j 2\pi 0 t} dt = \frac{W}{2} \mathcal{F} \left(sinc^2(Wt) \right)_{f=0} = \frac{W}{2} \frac{1}{W} \bigwedge(\frac{f}{W})_{f=0} \)
Sapendo che la funzione triangolare è definita così :
\(\displaystyle \bigwedge(x) = \begin{cases} 1-|x|, & \mbox{if } |x|<1\\ 0, & \mbox{altrove} \end{cases} \)
Avremo che \(\displaystyle \bigwedge(0) = 1\), pertanto :
\(\displaystyle \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{W}{2} sinc^2(Wt) dt = \frac{1}{2} \)
Per quanto riguarda il secondo integrale, ponendo \(\displaystyle x = 6\pi W t \) si ha un integrale noto cioè :
\(\displaystyle \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} cos(6 \pi Wt) dt ) = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{cos(x)}{6 \pi W} dx = \frac{sen(3 \pi W T) - sen(-3 \pi W T)}{ 6 \pi W} = \frac{sen(3 \pi W T)}{3 \pi W} \)
Infine passando al limite si ha :
\(\displaystyle
Quindi il valor medio è zero. Il procedimento è corretto? Se si posto anche il tentativo di risoluzione dell'integrale per trovare l'energia del segnale che ha la seguente formula generale :
\(\displaystyle E_x = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2(t) dt \)
nessuno?
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