[Teoria dei Segnali, Metodi matematici] LTI con Trasformate di Fourier

[dverrastro]

Ciao a tutti, ho difficoltà a risolvere questo esercizio

Si consideri il sistema a tempo discreto riportato in figura.



Il primo sistema è un filtro passabasso ideale caratterizzato dalla seguente risposta in frequenza:

+∞
H1(ν) = rep1 [rect(2ν)] = Σ rect[2(ν −k)]
k=−∞

Ragionando nel dominio della frequenza, calcolare l’uscita y(n) corrispondente al segnale di ingresso x(n) = δ(n).

Risultato: y(n) = δ(n).

Ho prima di tutto portato x(n) nel dominio della frequenza, ottenendo X(v) = 1 e ho moltiplicato per H1(V), considerando solo la il rettangolo centrato nell'origine dal momento che è l'unico che dà un contributo se consideriamo l'intervallo [-1/2, 1/2]:

W(v) = H1(v)*X(v) = rect(2v) * 1 = rect(2v)

Poi considero:

h2(n) = (-1)^n = cos(πn) = cos (2πn*1/2)

e trasformo:

H2(v) = 1/2 δ(v - 1/2) + 1/2 δ(v + 1/2)

e moltiplico:

W(v)*H2(v) = rect(2v) * [1/2 δ(v - 1/2) + 1/2 δ(v + 1/2)]

che dovrebbe essere uguale a 0 perché le due delte cadono fuori dall'intervallo del rect.

Quindi mi ritrovo:

Y(v) = W(v) + W(v)*H2(v) = rect(2v) + 0 = rect(2v)

la cui antitrasformata è:

y(n) = 1/2 SINC (t/2)

che non si trova con il risultato atteso. Dove sbaglio?

[dverrastro]

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[insideworld]

Y(v) = W(v) + W(v)*H2(v) = rect(2v) + 0 = rect(2v)

così trovi la funzione di trasferimento dell'intero sistema
l'uscita è $Y(\nu)=W(\nu)*X(\nu)+W(\nu)*H_2(\nu)*X(\nu)$
poi la trasformata della delta è 1 solo se la delta è centrata in zero
quindi dovresti avere
$Y(\nu)=\Pi (2\nu)*e^(2\pi i n \nu)$che antitrasformato ti da la funzione moltiplicata per la delta, ovvero la funzione sinc valutata in $n$ dove è centrata la delta
questo supponendo che $n$ sia la variabile temporale e $\nu$ o $v$ sia la variabile in frequenza e che non sia un'esercizio di analisi numerica dei segnali che ancora non ho trattato
io lo risolverei così però non ne sono sicuro al 100%,attendo conferme