[Teoria dei Segnali] Fourier e Analisi spettrale
Prendiamo un segnale sinusoidale reale, individuato da $x(t)=Acos(2\pif_0t + \phi)$
E' chiaro che volendo scrivere in serie di Fourier il segnale, non bisogna penare tanto direi
Se volessimo invece scriverlo in forma "complessa", utilizzando le formule di Eulero si otterrebbe $x(t) = A/2e^(j\phi)e^(j2\pif_0t) + A/2e^(-j\phi)e^(-j2\pif_0t) $
Quello che vorrei capire è il perchè considerando il segnale in forma "reale" lo spettro di ampiezza\fase è alquanto banale e prevede una armonica di ampiezza $A$ e fase $\phi$ di frequenza $f_0$, mentre invece utilizzando la forma "complessa" lo spettro si "sdoppia" in due armoniche di ampiezza $A/2$ (in realtà la simmetria si verifica per ogni segnale reale) di frequenza $f_0$ e $-f_0$.
Quello che non mi torna (non dal punto di vista matematico, ma fisico!) è il perchè di questo "sdoppiamento"...In realtà mi è sempre stato insegnato che non esiste una frequenza negativa..
Mi viene in mente che ciò è dovuto al fatto che utilizziamo la forma complessa per rappresentare un segnale reale...è quindi puramente un artifizio matematico? O ha qualche ripercussione in ambito ingegneristico?
Grazie a tutti anticipatamente
E' chiaro che volendo scrivere in serie di Fourier il segnale, non bisogna penare tanto direi
Se volessimo invece scriverlo in forma "complessa", utilizzando le formule di Eulero si otterrebbe $x(t) = A/2e^(j\phi)e^(j2\pif_0t) + A/2e^(-j\phi)e^(-j2\pif_0t) $
Quello che vorrei capire è il perchè considerando il segnale in forma "reale" lo spettro di ampiezza\fase è alquanto banale e prevede una armonica di ampiezza $A$ e fase $\phi$ di frequenza $f_0$, mentre invece utilizzando la forma "complessa" lo spettro si "sdoppia" in due armoniche di ampiezza $A/2$ (in realtà la simmetria si verifica per ogni segnale reale) di frequenza $f_0$ e $-f_0$.
Quello che non mi torna (non dal punto di vista matematico, ma fisico!) è il perchè di questo "sdoppiamento"...In realtà mi è sempre stato insegnato che non esiste una frequenza negativa..
Mi viene in mente che ciò è dovuto al fatto che utilizziamo la forma complessa per rappresentare un segnale reale...è quindi puramente un artifizio matematico? O ha qualche ripercussione in ambito ingegneristico?
Grazie a tutti anticipatamente
Risposte
Perché dici che lo spettro di \(\displaystyle x(t)=A \cos(2 \pi f_0 t + \varphi) \) è dato da una sola armonica?
\(\displaystyle \mathcal{F}\{A \cos(2 \pi f_0 t + \varphi)\} = \frac{A}{2}\left[e^{j \varphi}\delta(f-f_0) + e^{-j \varphi}\delta(f+f_0)\right] \)
quindi è lo stesso risultato che ottieni scomponendo il coseno con Eulero.
\(\displaystyle \mathcal{F}\{A \cos(2 \pi f_0 t + \varphi)\} = \frac{A}{2}\left[e^{j \varphi}\delta(f-f_0) + e^{-j \varphi}\delta(f+f_0)\right] \)
quindi è lo stesso risultato che ottieni scomponendo il coseno con Eulero.
Quello che intendevo è che utilizzando la formula di Fourier "reale" la serie è composta da un unico termine (armonica?) a frequenza $f_0$ che è il segnale stesso, mentre utilizzando la forma "complessa" i termini diventano di fatto 2 come hai detto tu (quindi 2 armoniche).
Mi chiedevo che significato fisico avessero "armoniche a frequenza negativa", se è un artifizio puramente matematico o se hanno altri significati
Mi chiedevo che significato fisico avessero "armoniche a frequenza negativa", se è un artifizio puramente matematico o se hanno altri significati
La trasformata di Fourier ti mostra come il segnale si scompone in "toni complessi" del tipo $e^{-j \omega t}$, che puoi visualizzare nel piano complesso come delle spirali (vedi figura):
Nell'ambito dei toni complessi una frequenza $-\omega$ negativa sta a significare che la spirale sta ruotando in senso opposto rispetto a una a frequenza $+ \omega$.
Un segnale reale del tipo $\cos(\omega t)$ è qualcosa di più elaborato di un tono complesso, perché per cancellare la parte immaginaria hai bisogno di due toni complessi (Eulero) che ruotano in senso opposto (in inglese: il primo introduce un lead, un anticipo, il secondo un lag, un ritardo), in modo che le parti reali si sommino e quelle immaginarie si cancellino, da qui ottieni due delta di Dirac. Quindi il trucco per capire meglio la questione è ricordare che il dominio di Fourier è un dominio di toni complessi, e non di seni e coseni.
Nell'ambito dei toni complessi una frequenza $-\omega$ negativa sta a significare che la spirale sta ruotando in senso opposto rispetto a una a frequenza $+ \omega$.
Un segnale reale del tipo $\cos(\omega t)$ è qualcosa di più elaborato di un tono complesso, perché per cancellare la parte immaginaria hai bisogno di due toni complessi (Eulero) che ruotano in senso opposto (in inglese: il primo introduce un lead, un anticipo, il secondo un lag, un ritardo), in modo che le parti reali si sommino e quelle immaginarie si cancellino, da qui ottieni due delta di Dirac. Quindi il trucco per capire meglio la questione è ricordare che il dominio di Fourier è un dominio di toni complessi, e non di seni e coseni.
Ah...credo di aver capito il succo...dal momento che mi trovo nel dominio dei complessi un segnale REALE deve essere per forza scomposto in due armoniche in quanto altrimenti si avrebbe un segnale ancora complesso!
In realtà sono due modi diversi per "dire la stessa cosa"...giusto? Solo che uno si colloca in ambito complesso...l'altro nei reali !
Probabilmente avendo appena iniziato il corso non avevo colto questo particolare...grazie mille!
In realtà sono due modi diversi per "dire la stessa cosa"...giusto? Solo che uno si colloca in ambito complesso...l'altro nei reali !
Probabilmente avendo appena iniziato il corso non avevo colto questo particolare...grazie mille!
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