[Teoria dei Segnali] Filtro passa Basso
Buongiorno ragazzi, ho questo esercizio di segnali e sistemi e non riesco a capire come si risolve. Ho cercato ovunque un problema simile al mio ma sembra che il mio professore sia l'unico al mondo a richiedere ciò. CHE FORTUNA! 
Si consideri il segnale periodico di periodo $ T $ che in $ (0,T) $ vale
$ u(t) = \{(1, 0
Determinare l'uscita di risposta in frequenza
$ H(f) = \prod (f/(2W)) $ dove $ 0
al segnale $ u(t) $.
Allora.....
Partiamo disegnando il segnale $ u(t) $ in $ (0,T) $:
Un possibile generatore $ u_g$ $(t)$ potrebbe essere
$ u_g$ $(t) = \prod((t-3/8T)/(3/4T)) -1/2\prod((t-7/8T)/(1/4T))$
Siccome si agisce nel Dominio delle Frequenze devo fare la Trasformata di Fourier del generatore $ u_g$$(t)$:
$ U(f) = 3/4T * Sinc (f 3/4 T) * e^(-j2\pif 3/8 T) -1/2 *1/4T * Sinc (f 1/4 T) * e^(-j2\pif 7/8 T) $
$ = 3/4T * Sinc (f 3/4 T) * e^(-j\pif 3/4 T) -1/8T * Sinc (f 1/4 T) * e^(-j\pif 7/4 T) $
Adesso ???
Come si applica il filtro passa basso ??
Grazie ragazza in anticipo..
Si consideri il segnale periodico di periodo $ T $ che in $ (0,T) $ vale
$ u(t) = \{(1, 0
Determinare l'uscita di risposta in frequenza
$ H(f) = \prod (f/(2W)) $ dove $ 0
al segnale $ u(t) $.
Allora.....
Partiamo disegnando il segnale $ u(t) $ in $ (0,T) $:
Un possibile generatore $ u_g$ $(t)$ potrebbe essere
$ u_g$ $(t) = \prod((t-3/8T)/(3/4T)) -1/2\prod((t-7/8T)/(1/4T))$
Siccome si agisce nel Dominio delle Frequenze devo fare la Trasformata di Fourier del generatore $ u_g$$(t)$:
$ U(f) = 3/4T * Sinc (f 3/4 T) * e^(-j2\pif 3/8 T) -1/2 *1/4T * Sinc (f 1/4 T) * e^(-j2\pif 7/8 T) $
$ = 3/4T * Sinc (f 3/4 T) * e^(-j\pif 3/4 T) -1/8T * Sinc (f 1/4 T) * e^(-j\pif 7/4 T) $
Adesso ???
Come si applica il filtro passa basso ??
Grazie ragazza in anticipo..
Risposte
cerco di rispondere quanto prima possibile
eccomi, stiamo studiando la stessa cosa... io direi: ti do una mano, mi dai una mano
purtroppo non ho troppo tempo in questo momento per controllare i tuoi calcoli e poi svolgere i rimanenti che portano alla soluzione, ma ecco cosa devi fare in linea di massima:
hai un segnale periodico che non è altro che una funzione T-periodica esprimibile quindi tramite una serie di Fourier. La serie in questione è infinita ed è data da $ sum(v_ke^(j2pik/Tt)) $
Se le cerchi di immaginare questa è la somma infinita di tante sinusoidi di frequenza crescente insieme a $ k $ e pesate (moltiplicate) tramite dei coefficenti $ v_k $ che credo tu abbia già calcolato.
Applicando un filtro passa basso tu nel dominio delle frequenze elimini ogni contributo oltre la soglia di taglio ma nel dominio del tempo (ed è qui il punto) verranno eliminate tutte le sinusoidi di frequenza superiore a quella di taglio. Non sarà più quindi una somma infinita ma finita (perchè dopo un certo k il filtro "annulla" il segnale). Per capire a quale k ti devi fermare è semplice, la banda passante del filtro è $ 2W $ con $ W=n/T $ devi interrompere la somma esattamente ad n e usare i coefficenti che hai già calcolato. Avrai quindi una somma da 0 fino ad n dell'espressione della serie di fourier e quella sarà la risposta del sistema filtro al tuo segnale in ingresso
sono su una panchina fuori dalla biblioteca ed è una spiegazione orribile dal punto di vista matematico ma adesso non posso fare di meglio, spero di averti aiutato nel caso chiedi
ora dammi una mano tu... quale è la trasformata di fourier per la finestra triangolare centrata in $ t_0 $ e di durata $ T $ ???
p.s. dove studi?
eccomi, stiamo studiando la stessa cosa... io direi: ti do una mano, mi dai una mano
purtroppo non ho troppo tempo in questo momento per controllare i tuoi calcoli e poi svolgere i rimanenti che portano alla soluzione, ma ecco cosa devi fare in linea di massima:
hai un segnale periodico che non è altro che una funzione T-periodica esprimibile quindi tramite una serie di Fourier. La serie in questione è infinita ed è data da $ sum(v_ke^(j2pik/Tt)) $
Se le cerchi di immaginare questa è la somma infinita di tante sinusoidi di frequenza crescente insieme a $ k $ e pesate (moltiplicate) tramite dei coefficenti $ v_k $ che credo tu abbia già calcolato.
Applicando un filtro passa basso tu nel dominio delle frequenze elimini ogni contributo oltre la soglia di taglio ma nel dominio del tempo (ed è qui il punto) verranno eliminate tutte le sinusoidi di frequenza superiore a quella di taglio. Non sarà più quindi una somma infinita ma finita (perchè dopo un certo k il filtro "annulla" il segnale). Per capire a quale k ti devi fermare è semplice, la banda passante del filtro è $ 2W $ con $ W=n/T $ devi interrompere la somma esattamente ad n e usare i coefficenti che hai già calcolato. Avrai quindi una somma da 0 fino ad n dell'espressione della serie di fourier e quella sarà la risposta del sistema filtro al tuo segnale in ingresso
sono su una panchina fuori dalla biblioteca ed è una spiegazione orribile dal punto di vista matematico ma adesso non posso fare di meglio, spero di averti aiutato nel caso chiedi
ora dammi una mano tu... quale è la trasformata di fourier per la finestra triangolare centrata in $ t_0 $ e di durata $ T $ ???
p.s. dove studi?
Ciao studio a Ingegneria dell'Informazione (Ing. Informatica, hanno solo cambiato nome per non confonderla con la magistrale ) a Lecce.
La trasformata di Fourier della finestra triangolare di periodo $ T $ e centrata in $ t_0 $ è
$ x(t) = A * ((t-t_0)/(T)) $
$ X(f) = A * T (sinc)^2(f T) * e^(-j2\pift_0) $
Per esempio una finestra triangolare di ampiezza $ A = 2 $ centrata in $ t_0 = 1/4T $ e di periodo $ 1/2T $ ha come Trasformata di Fourier:
$ X(f) = 2 * 1/2T (sinc)^2(f1/2T) * e^(-j\pif1/2T) $
Ritornando al mio problema.... Non ho capito del tutto!
I coefficienti della Serie di Fourier in forma esponenziale non li avevo ancora calcolati ma so che il calcolo non è difficile..
Infatti, so che i coefficiente $ u_k $ sono legati da questa relazione con la Trasformata di Fourier che ho calcolato prima:
$ u_k = 1/T * [ U(f)|_(f=k/T) ]$
Quindi nel mio caso i coefficienti $ u_k $ sono dati da
$ u_k = 3/4 * sinc(3/4k) * e^(-j\pi3/4k) - 1/8 * sinc(1/4k) * e^(-j\pi7/4k) $
e la Serie di Fourier che rappresenta il mio segnale $ u(t) $ è la seguente:
$ u(t) = \sum_{k=-\infty}^(+\infty) u_k * e^(j2\pik/Tt) $
Correggimi se sbaglio, non sono sicuro si scriva così l'esponenziale..
Dopodiché devo calcolare l'ultimo $ k $ che dipende dalla banda passante del filtro $ 2W $. Siccome $ 0 < W < 1/T $ ovvero $ 0/T < W < 1/T $ trovo che i valori $k $ che devo usare per la Serie di Fourier sono $ k \in \{0,1} $. Giusto ??
La mia risposta in frequenza al sistema sarà dunque data da
$ u(t) = \sum_{k=0}^(1) u_k * e^(j2\pik/Tt) $
Giusto ???
) a Lecce.La trasformata di Fourier della finestra triangolare di periodo $ T $ e centrata in $ t_0 $ è
$ x(t) = A * ((t-t_0)/(T)) $
$ X(f) = A * T (sinc)^2(f T) * e^(-j2\pift_0) $
Per esempio una finestra triangolare di ampiezza $ A = 2 $ centrata in $ t_0 = 1/4T $ e di periodo $ 1/2T $ ha come Trasformata di Fourier:
$ X(f) = 2 * 1/2T (sinc)^2(f1/2T) * e^(-j\pif1/2T) $
Ritornando al mio problema.... Non ho capito del tutto!
I coefficienti della Serie di Fourier in forma esponenziale non li avevo ancora calcolati ma so che il calcolo non è difficile..
Infatti, so che i coefficiente $ u_k $ sono legati da questa relazione con la Trasformata di Fourier che ho calcolato prima:
$ u_k = 1/T * [ U(f)|_(f=k/T) ]$
Quindi nel mio caso i coefficienti $ u_k $ sono dati da
$ u_k = 3/4 * sinc(3/4k) * e^(-j\pi3/4k) - 1/8 * sinc(1/4k) * e^(-j\pi7/4k) $
e la Serie di Fourier che rappresenta il mio segnale $ u(t) $ è la seguente:
$ u(t) = \sum_{k=-\infty}^(+\infty) u_k * e^(j2\pik/Tt) $
Correggimi se sbaglio, non sono sicuro si scriva così l'esponenziale..
Dopodiché devo calcolare l'ultimo $ k $ che dipende dalla banda passante del filtro $ 2W $. Siccome $ 0 < W < 1/T $ ovvero $ 0/T < W < 1/T $ trovo che i valori $k $ che devo usare per la Serie di Fourier sono $ k \in \{0,1} $. Giusto ??
La mia risposta in frequenza al sistema sarà dunque data da
$ u(t) = \sum_{k=0}^(1) u_k * e^(j2\pik/Tt) $
Giusto ???
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