Teoria dei Segnali: Filtri da trasformata Z
Salve a tutti, mi servirebbe una mano con questo esercizio:
Per quanto riguarda la prima domanda, intuitivamente direi che il primo è un filtro passa-alto, ha i due poli vicini alla frequenza [tex]f=1/(2T)[/tex] (o se preferite vicini a [tex]\omega=\pi[/tex], per quanto riguarda il secondo si tratta di un passa banda per motivi analoghi e per quanto riguarda il terzo un passa basso.
Il problema è che non so come giustificare formalmente queste mie affermazioni.
Per quanto riguarda la prima domanda, intuitivamente direi che il primo è un filtro passa-alto, ha i due poli vicini alla frequenza [tex]f=1/(2T)[/tex] (o se preferite vicini a [tex]\omega=\pi[/tex], per quanto riguarda il secondo si tratta di un passa banda per motivi analoghi e per quanto riguarda il terzo un passa basso.
Il problema è che non so come giustificare formalmente queste mie affermazioni.
Risposte
interesserebbe molto anche a me..
Anche a me, nessuno che sa spiegare i misteri di questi filtri ? 
Sono tutti e tre filtri con funzione di trasferimento del tipo
[tex]$F(z)=\frac{1}{(1-\rho e^{j\theta} z^{-1})(1-\rho e^{-j\theta} z)}[/tex].
dove [tex]$0\le\rho<1$[/tex] e [tex]$-\pi\le\theta<\pi[/tex] è una pulsazione normalizzata.
La risposta in frequenza si legge sul cerchio unitario:
[tex]$F(e^{j\Omega})=\frac{1}{(1-\rho e^{j\theta} e^{-j\Omega})(1-\rho e^{-j\theta} e^{j\Omega})}=\frac{1}{1+\rho^2-2\rho \cos(\Omega-\theta)}[/tex].
Pertanto, nel caso (a) si ha [tex]$\theta=\frac{3}{4}\pi[/tex] e [tex]$\rho=0.5[/tex], cioé la funzione [tex]$F(e^{j\Omega})[/tex] ha un massimo in [tex]$\Omega=\theta=\frac{3}{4}\pi[/tex], dunque possiamo interpretarla come un filtro passa-alto.
Il filtro (b) ha il massimo per [tex]$\Omega=\pi/4[/tex], quindi lo si può interpretare come filtro passa-banda. Analogamente per il filtro (c) che ha il massimo per [tex]$\Omega=\pi/2[/tex].
Dall'espressione della risposta in frequenza [tex]$F(e^{j\Omega})[/tex], è evidente che i filtri più selettivi saranno quelli con [tex]$\rho[/tex] più prossimo a 1.
[tex]$F(z)=\frac{1}{(1-\rho e^{j\theta} z^{-1})(1-\rho e^{-j\theta} z)}[/tex].
dove [tex]$0\le\rho<1$[/tex] e [tex]$-\pi\le\theta<\pi[/tex] è una pulsazione normalizzata.
La risposta in frequenza si legge sul cerchio unitario:
[tex]$F(e^{j\Omega})=\frac{1}{(1-\rho e^{j\theta} e^{-j\Omega})(1-\rho e^{-j\theta} e^{j\Omega})}=\frac{1}{1+\rho^2-2\rho \cos(\Omega-\theta)}[/tex].
Pertanto, nel caso (a) si ha [tex]$\theta=\frac{3}{4}\pi[/tex] e [tex]$\rho=0.5[/tex], cioé la funzione [tex]$F(e^{j\Omega})[/tex] ha un massimo in [tex]$\Omega=\theta=\frac{3}{4}\pi[/tex], dunque possiamo interpretarla come un filtro passa-alto.
Il filtro (b) ha il massimo per [tex]$\Omega=\pi/4[/tex], quindi lo si può interpretare come filtro passa-banda. Analogamente per il filtro (c) che ha il massimo per [tex]$\Omega=\pi/2[/tex].
Dall'espressione della risposta in frequenza [tex]$F(e^{j\Omega})[/tex], è evidente che i filtri più selettivi saranno quelli con [tex]$\rho[/tex] più prossimo a 1.
"luca.barletta":
Sono tutti e tre filtri con funzione di trasferimento del tipo
[tex]$F(z)=\frac{1}{(1-\rho e^{j\theta} z^{-1})(1-\rho e^{-j\theta} z)}[/tex].
dove [tex]$0\le\rho<1$[/tex] e [tex]$-\pi\le\theta<\pi[/tex] è una pulsazione normalizzata.
La risposta in frequenza si legge sul cerchio unitario:
[tex]$F(e^{j\Omega})=\frac{1}{(1-\rho e^{j\theta} e^{-j\Omega})(1-\rho e^{-j\theta} e^{j\Omega})}=\frac{1}{1+\rho^2-2\rho \cos(\Omega-\theta)}[/tex].
Pertanto, nel caso (a) si ha [tex]$\theta=\frac{3}{4}\pi[/tex] e [tex]$\rho=0.5[/tex], cioé la funzione [tex]$F(e^{j\Omega})[/tex] ha un massimo in [tex]$\Omega=\theta=\frac{3}{4}\pi[/tex], dunque possiamo interpretarla come un filtro passa-alto.
Il filtro (b) ha il massimo per [tex]$\Omega=\pi/4[/tex], quindi lo si può interpretare come filtro passa-banda. Analogamente per il filtro (c) che ha il massimo per [tex]$\Omega=\pi/2[/tex].
Dall'espressione della risposta in frequenza [tex]$F(e^{j\Omega})[/tex], è evidente che i filtri più selettivi saranno quelli con [tex]$\rho[/tex] più prossimo a 1.
Luca ti ringrazio delle spiegazioni ma ancora non ci sono...
Ecco un po' di questioni aperte per me :Pulsazione normalizzata , ma rispetto a cosa ? cioè come la calcoli ? Conosco $omega= 2pif=(2pi)/T $ e poi ?
$F(z)=$ etc etc Ok tutti e tre gli esercizi hanno 2 poli.
La risposta in frequenza si legge nel cerchio unitario : perchè ? .. avendo posto immagino $z = e^(jOmega) $ .
Nel caso a ) si ha $ theta=3pi/4 $ penso si deduca dal diagramma ; $rho =0.5 $ da dove si deduce ? sempre dal diagramma ?
b) Max per $Omega=pi/4$ quindi passa banda , perchè è un passa banda ?
c) passa banda anche lui ?
I filtri più selettivi sono quelli con $rho $ più prossimo a 1 : ok in quanto $F(e^(i theta)) rarr 1/0 rarr oo $ e questo è chiaro.
"Camillo":
Luca ti ringrazio delle spiegazioni ma ancora non ci sono...
Pulsazione normalizzata , ma rispetto a cosa ? cioè come la calcoli ? Conosco $omega= 2pif=(2pi)/T $ e poi ?
Tutte le pulsazioni che compaiono sono normalizzate rispetto al tempo di campionamento del segnale [tex]$T_s$[/tex]:
[tex]$\Omega = \omega T_s = 2\pi f T_s[/tex]
"Camillo":
La risposta in frequenza si legge nel cerchio unitario : perchè ? .. avendo posto immagino $z = e^(jOmega) $ .
La trasformata z bilatera della sequenza [tex]\{f_k\}[/tex] è definita come
[tex]$F(z)=\sum_{k=-\infty}^\infty f_k z^{-k}[/tex].
In [tex]$z=e^{i 2\pi fT_s}[/tex] si legge la trasformata di Fourier della sequenza [tex]\{f_k\}[/tex], infatti
[tex]$F(e^{i 2\pi fT_s})=\sum_{k=-\infty}^\infty f_k e^{-i 2\pi fkT_s}[/tex],
cioé equivale a valutare la [tex]F(z)[/tex] sul cerchio unitario (sul piano [tex]z[/tex] l'angolo che il vettore forma con il semiasse positivo delle [tex]x[/tex] è la pulsazione normalizzata [tex]$\Omega=2\pi fT_s[/tex]).
"Camillo":
Nel caso a ) si ha $ theta=3pi/4 $ penso si deduca dal diagramma ; $rho =0.5 $ da dove si deduce ? sempre dal diagramma ?
b) Max per $Omega=pi/4$ quindi passa banda , perchè è un passa banda ?
c) passa banda anche lui ?
I parametri [tex]\rho[/tex] e [tex]\theta[/tex] dei filtri li ho dedotti ad occhio dai diagrammi.
Per [tex]\theta=\pi/4[/tex] l'ho interpretato come passa banda... di solito interpreto come passa-basso quelli centrati sullo 0, o giù di lì. Ma nulla vieta di interpretarlo come passa-basso: come al solito, basta intendersi
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