[Teoria dei Segnali] Esercizio segnale aleatorio

Oiram92
Sia \(\displaystyle X(t) \) un segnale aleatorio stazionario in senso lato avente funzione di autocorrelazione :

\(\displaystyle R_X(\tau) = 4500sinc(1500\tau)^2 + 1000sinc(1000\tau) \)


Sia \(\displaystyle Y(t) = X(t) + Z \), dove \(\displaystyle Z \) è una variabile aleatoria uniforme in \(\displaystyle [0,10] \).
Calcolare :
1) La media di \(\displaystyle X(t) \) e di \(\displaystyle Y(t) \)
2) Disegnare lo spettro di potenza di \(\displaystyle Y(t) \) e calcolarne la potenza
3) La frequenza di campionamento di \(\displaystyle Y(t) \)

[size=150]Svolgimento[/size]

1) Il segnale \(\displaystyle X(t) \) è stazionario, quindi il suo valor medio è nullo. Per quanto riguarda \(\displaystyle Y(t) \) :

\(\displaystyle E\{Y(t)\} = E\{X(t)\} + E\{Z\} = \emptyset + \int_{-\infty}^{+\infty} z \cdot \frac{1}{10} rect\left(\frac{z-5}{10}\right) dz = 5 \)


2) Per calcolare la densità spettrale di potenza prima calcoliamo l'autocorrelazione :

\(\displaystyle R_Y(\tau) = E\{Y^2(t)\} = E\{X^2(t)\} + E\{Z^2\} + E\{2Z\cdot X(t)\} \)


sfruttando la linearità dell'operatore valore medio ed osservando che \(\displaystyle E\{X^2(t)\}=R_X(\tau) \):

\(\displaystyle = R_X(\tau) + \int_{-\infty}^{+\infty} z^2 \cdot \frac{1}{10} rect\left(\frac{z-5}{10}\right) dz + 2 \cdot \; E\{Z\}\cdot E\{X(t)\} \)


ma \(\displaystyle E\{X(t)\}=0 \) come visto in precedenza, quindi :

\(\displaystyle R_Y(\tau) = 4500sinc^2(1500\tau) + 1000sinc(1000\tau) + \frac{100}{3} \)


Adesso sappiamo (teorema) che il legame tra l'autocorrelazione e la densità spettrale di potenza è :

\(\displaystyle S_Y(f) = \mathbb{F}\left[R_Y(\tau)\right] = 3 tr\left(\frac{f}{1500}\right) + rect\left(\frac{f}{1000}\right) + \frac{100}{3} \delta(f) \)


Graficando :

[fcd="Densita spettrale di potenza"][FIDOCAD]
LI 115 15 115 130 0
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 15 110 215 110 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 115 10 4 3 0 0 0 * Sy(f)
TY 215 110 4 3 0 0 0 * f
TY 85 110 4 3 0 0 0 * -500
TY 30 110 4 3 0 0 0 * -1500
TY 135 110 4 3 0 0 0 * 500
TY 185 110 4 3 0 0 0 * 1500
TY 110 90 4 3 0 0 0 * 2
TY 110 70 4 3 0 0 0 * 4
LI 90 95 140 95 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 40 110 90 95 2
LI 90 85 115 75 2
LI 90 95 90 85 2
LI 115 110 115 30 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 115 75 140 85 2
LI 140 85 140 95 2
LI 140 95 190 110 2[/fcd]

Infine la potenza è :

\(\displaystyle P_Y = \int_{-\infty}^{+\infty} S_Y(f) df = R_Y(0) = \frac{16600}{3} \approx 5533.3 \)


3) Lo spettro di potenza è limitato in frequenza, quindi per il teorema del campionamento \(\displaystyle f_C \ge 2\cdot 1500 \;Hz \)

L'esercizio è svolto correttamente? In particolar modo noto che la maggior parte del mio procedimento si basa sul fatto che il valor medio di un segnale aleatorio stazionario in senso lato è nullo...Sul mio libro la definizione riporta che il valor medio è costante, quindi non necessariamente nullo (o sbaglio?). Tuttavia durante le esercitazioni in aula il prof ha sempre fatto così e quindi (finora) non ho dato molto peso alla questione

Risposte
Oiram92
Mi rispondo da solo, in generale un segnale stazionario ha valore medio costante (non necessariamente nullo), però per tali tipi di segnali c'è una proprietà che afferma :

\(\displaystyle \lim_{\tau \to +\infty} R_X(\tau) = E\{X(t)\}^2 \)


applicando questa relazione all'esercizio in questione si vede quindi che \(\displaystyle E\{X(t)\} = \emptyset \). "Mistero" risolto :-D

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