[Teoria dei Segnali] Esercizio segnale aleatorio

[Oiram92]

Sia \(\displaystyle X(t) \) un segnale aleatorio stazionario in senso lato avente funzione di autocorrelazione :

\(\displaystyle R_X(\tau) = 4500sinc(1500\tau)^2 + 1000sinc(1000\tau) \)

Sia \(\displaystyle Y(t) = X(t) + Z \), dove \(\displaystyle Z \) è una variabile aleatoria uniforme in \(\displaystyle [0,10] \).
Calcolare :
1) La media di \(\displaystyle X(t) \) e di \(\displaystyle Y(t) \)
2) Disegnare lo spettro di potenza di \(\displaystyle Y(t) \) e calcolarne la potenza
3) La frequenza di campionamento di \(\displaystyle Y(t) \)

[size=150]Svolgimento[/size]

1) Il segnale \(\displaystyle X(t) \) è stazionario, quindi il suo valor medio è nullo. Per quanto riguarda \(\displaystyle Y(t) \) :

\(\displaystyle E\{Y(t)\} = E\{X(t)\} + E\{Z\} = \emptyset + \int_{-\infty}^{+\infty} z \cdot \frac{1}{10} rect\left(\frac{z-5}{10}\right) dz = 5 \)

2) Per calcolare la densità spettrale di potenza prima calcoliamo l'autocorrelazione :

\(\displaystyle R_Y(\tau) = E\{Y^2(t)\} = E\{X^2(t)\} + E\{Z^2\} + E\{2Z\cdot X(t)\} \)

sfruttando la linearità dell'operatore valore medio ed osservando che \(\displaystyle E\{X^2(t)\}=R_X(\tau) \):

\(\displaystyle = R_X(\tau) + \int_{-\infty}^{+\infty} z^2 \cdot \frac{1}{10} rect\left(\frac{z-5}{10}\right) dz + 2 \cdot \; E\{Z\}\cdot E\{X(t)\} \)

ma \(\displaystyle E\{X(t)\}=0 \) come visto in precedenza, quindi :

\(\displaystyle R_Y(\tau) = 4500sinc^2(1500\tau) + 1000sinc(1000\tau) + \frac{100}{3} \)

Adesso sappiamo (teorema) che il legame tra l'autocorrelazione e la densità spettrale di potenza è :

\(\displaystyle S_Y(f) = \mathbb{F}\left[R_Y(\tau)\right] = 3 tr\left(\frac{f}{1500}\right) + rect\left(\frac{f}{1000}\right) + \frac{100}{3} \delta(f) \)

Graficando :

[fcd="Densita spettrale di potenza"][FIDOCAD]
LI 115 15 115 130 0
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 15 110 215 110 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 115 10 4 3 0 0 0 * Sy(f)
TY 215 110 4 3 0 0 0 * f
TY 85 110 4 3 0 0 0 * -500
TY 30 110 4 3 0 0 0 * -1500
TY 135 110 4 3 0 0 0 * 500
TY 185 110 4 3 0 0 0 * 1500
TY 110 90 4 3 0 0 0 * 2
TY 110 70 4 3 0 0 0 * 4
LI 90 95 140 95 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 40 110 90 95 2
LI 90 85 115 75 2
LI 90 95 90 85 2
LI 115 110 115 30 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 115 75 140 85 2
LI 140 85 140 95 2
LI 140 95 190 110 2[/fcd]

Infine la potenza è :

\(\displaystyle P_Y = \int_{-\infty}^{+\infty} S_Y(f) df = R_Y(0) = \frac{16600}{3} \approx 5533.3 \)

3) Lo spettro di potenza è limitato in frequenza, quindi per il teorema del campionamento \(\displaystyle f_C \ge 2\cdot 1500 \;Hz \)

L'esercizio è svolto correttamente? In particolar modo noto che la maggior parte del mio procedimento si basa sul fatto che il valor medio di un segnale aleatorio stazionario in senso lato è nullo...Sul mio libro la definizione riporta che il valor medio è costante, quindi non necessariamente nullo (o sbaglio?). Tuttavia durante le esercitazioni in aula il prof ha sempre fatto così e quindi (finora) non ho dato molto peso alla questione

[Oiram92]

Mi rispondo da solo, in generale un segnale stazionario ha valore medio costante (non necessariamente nullo), però per tali tipi di segnali c'è una proprietà che afferma :

\(\displaystyle \lim_{\tau \to +\infty} R_X(\tau) = E\{X(t)\}^2 \)

applicando questa relazione all'esercizio in questione si vede quindi che \(\displaystyle E\{X(t)\} = \emptyset \). "Mistero" risolto