[Teoria dei Segnali] Esercizio processo stocastico

[menteContorta]

L'esercizio in cui non riesco ad uscirne è questo:

Dato un processo
x(k, t) = (AB −C)cos(2πft− 2θ)
dove A, B e C sono tre variabili aleatorie indipendenti aventi densità di probabilità rispettivamente pari a
fA(a) = 1/2 rect(a/2),
fB(b) = 1/3 rect(b/3)
fC(c) = 1/4 rect(c/4 ),
mentre θ e una variabile aleatoria indipendente uniformemente distribuita fra 0 e 4π studiarne la stazionarietà in senso lato del processo e ` calcolarne l’autocorrelazione.

Quello che mi serve sarà il valore dei media e di autocorrelazione,fin qui ci sono. Ma quali sono i valori di densità di probabilità da inserire? Premetto che ho fatto esercizi simili ma sempre e solo con una variabile...quindi il mio problema cosiste soprattutto nel capire come svolgere l'esercizio con più variabili che non svolgere l'esercizo in sè!

Ragioniamo insieme!

[D4lF4zZI0]

Un processo si dice stazionario in senso lato (SSL ) del II ordine quando $ { ( mu_x(t)=mu_x ),( r_(x,x)(t_1,t_2)= r_(x,x)(t_1-t_2)=r_(x,x)(tau)):} $
Dunque si ha:
$1)$ Poichè tutte le variabili aleatorie ( $A$,$B$,$C$,$vartheta$) sono statisticamente indipendenti, allora banalmente si ha che $mu_x(t)=mu_x=0$;
$2)$l'autocorrelazione vale:
$ r_(x,x)(t,tau)=E[x(t)x(t-tau)]=E[(AB-C)cos(2pift-2vartheta)(AB-C)cos(2pif(t-tau)-2vartheta)]=
=E[(AB-C)^2]E[cos(2pift-2vartheta)cos(2pif(t-tau)-2vartheta)] $
PS: ho sfruttato, ancora una volta, il fatto che le quattro variabili sono statisticamente indipendenti.
Dunque, si ha:
$ r_(x,x)(t,tau)=E[(AB-C)^2]E[cos(2pift-2vartheta)cos(2pif(t-tau)-2vartheta)]=E[(AB-C)^2] 1/2 cos(2piftau) $
avendo ricordato il risultato fondamentale:
$ E[cos(2pift-2vartheta)cos(2pif(t-tau)-2vartheta)]=1/2 cos(2piftau) $
Dunque il processo è SSL.
Per calcolare l'autocorrelazione, occorre calcolare $E[(AB-C)^2]$; in virtù del fatto che sono statisticamente indipendenti, si può scrivere:
$ E[(AB-C)^2]=E[A^2B^2-2ABC+C^2]=E[A^2]E[B^2]-2E[A]EE[C]+E[C^2] $
applicando il teorema fondamentale della media, ti calcoli $E[(AB-C)^2]$

[menteContorta]

Non mi è tanto chiaro il passaggio per giungere :

E[cos(2πft−2ϑ)cos(2πf(t−τ)−2ϑ)]=1/2cos(2πfτ)

E poi per calcolare l'autocorrelazione devo calcolare E[(AB-C)^2] qui sfrutto le densità di probabilità delle singole variabili,giusto?La variazione di ϑ non la considero?

[D4lF4zZI0]

$1)$ $ E[cos(2pift-2vartheta)cos(2pif(t-tau)-2vartheta)]=1/2 cos(2piftau) $ è un risultato fondamentale ( è facile da dimostrare provaci )
$2)$ Si, per calcolare $E[(AB-C)^2]$ devi sfruttare le densità di probabilità.
$3)$ $vartheta$ non gioca alcun ruolo visto il risultato del punto 1)