[Teoria dei Segnali] Esercizio

[xplasticx]

Ciao ragazzi, sono nuova del forum. Ho appena scoperto questo sito e ho delle difficoltà con un esercizio di teoria dei segnali. L'esrcizio dice ciò:
Fissato T>0 per ogni t€R, si consideri il segnale:
$x(t)=rect(t/(2T))triang(t/(2T))$
mi chiede:
1)scrivere la trasformata di Fourier X(f), (Suggerimento:si determini prima una più opportuna espressione analitica di x(t))
2)si consideri il segnale z(t) ottenuto ripetendo periodicamente x(t) con periodo 4T. e si sviluppi in serie di Fourier.
3)stessa cosa del punto 2 solo che il segnale v(t) è ottenuto ripetendo periodicamente x(t) con periodo T.
4)calcolare la potenza del segnale z(t).

Spero che qualche anima buona mi sappia dare una mano.
Grazie in anticipo! ciao!!

[Ska1]

il segnale $x(t)$ è il prodotto tra un $rect$ largo $2T$ e un $tri$ largo $4T$
[asvg]axes();
line([-1,0],[-1,1]);
line([-1,1],[1,1]);
line([1,0],[1,1]);
stroke="red";
line([-2,0],[0,1]);
line([0,1],[2,0]);[/asvg]

il risultato è dunque una sorta di casetta
[asvg]axes();
stroke="blue";
line([-1,0],[-1,0.5]);
line([1,0],[1,0.5]);
line([-1,0.5],[0,1]);
line([0,1],[1,0.5]);[/asvg]

che si può vedere come somma di un $tri$ alto $1/2$ e largo $2T$ e un $rect$ alto $1/2$ e largo sempre $2T$
[asvg]axes();
stroke="blue";
line([-1,0],[-1,0.5]);
line([1,0],[1,0.5]);
line([1,0.5],[-1,0.5]);
stroke="red";
line([1,0.5],[-1,0.5]);
line([-1,0.5],[0,1]);
line([0,1],[1,0.5]);[/asvg]

quindi $x(t) = 1/2 (rect(t/(2T)) + tri(t/T))$

da cui $X(f) = T sinc(2Tf) + T/2 sinc^2(Tf)$

$z(t) = x(t)*\delta_(4T)(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x(t-4Tk)$

$Z(f) = X(f) 1/(4T) \delta_{1/(4T)}(f) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} (X(k/(4T)))/(4T) \delta(f-k/(4T))$
da cui si ricava che il generico coefficiente dello sviluppo in serie di fourier è $z_k=(X(k/(4T)))/(4T)$

$v(t) = x(t)*\delta_(T)(t)$ ma guardando graficamente cosa accade quando si effettua la ripetizione periodica di periodo $T$
[asvg]axes();
stroke="blue";
line([-1,0],[-1,0.5]);
line([1,0],[1,0.5]);
line([-1,0.5],[0,1]);
line([0,1],[1,0.5]);
stroke="red";
line([-2,0],[-2,0.5]);
line([0,0],[0,0.5]);
line([-2,0.5],[-1,1]);
line([-1,1],[0,0.5]);

line([0,0],[0,0.5]);
line([2,0],[2,0.5]);
line([0,0.5],[1,1]);
line([1,1],[2,0.5]);[/asvg]

sul periodo si ottiene che il segnale è costante e pari a $1$, quindi $v(t)=1$ e quindi $V(f)=\delta(f)$ quindi l'unico coefficiente di fourier che si salva è $v_0=1$


La potenza di $z(t)$ essendo la ripetizione periodica di $x(t)$ con periodo $4T$ è pari all'energia sul periodo normalizzata alla dimensione del periodo stesso, dunque $P_z=1/(4T) E_x$

$E_x=\int_{-\infty}^{+\infty} (1/2(tri(t/T) + rect(t/(2T))))^2 dt = 1/4\int_{-\infty}^{+\infty} tri^2(t/T) + 2tri(t/T)rect(t/(2T)) + rect^2(t/(2T)) dt = 1/4 (T\cdot E_{tri} + 2T\cdot E_{rect} + 2 \cdot 2T\cdot Area_{tri}) = 1/4(2/3 T + 2T +4T) = 5/3 T$
quindi $P_z = 5/12$

[xplasticx]

intanto grazie, ma io volevo capire come devo fare per calcolare x(f)..

[K.Lomax]

Ci sono due modi per determinare [tex]X(f)[/tex]:
1) Effettui la convoluzione tra le trasformate (questo, in tale caso, è fortemente sconsigliato) ovvero applichi la seguente proprietà:

[tex]F[x(t)]=F[x_1(t)x_2(t)]=X_1(f)*X_2(f)[/tex]

2) Disegni il segnale così come fatto da Ska e ti accorgi che esso può essere visto come somma di un triangolo e un rettangolo.